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| Aufgabe | | kann man die Maximumsnorm der Inversen einer Matrix irgendwie nach oben abschätzen??? |
Hallo ich suche nach einer Möglichkeit die Maximumsnorm für die Inverse einer Matrix, also [mm] \parallel A^{-1} \parallel_\infty [/mm] nach oben abzuschätzen ohne die Inverse selbst zu bestimmen. Geht das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Viktory,
um die Norm von inversen Matrizen abzuschätzen hilft oft die Neumannsche Reihe:
[mm] \summe_{m=0}^{\infty} A^m [/mm] = I + A + [mm] A^2+ [/mm] ... ist genau dann konvergent, wenn [mm] \rho(A) [/mm] < 1 (der Spektraladius). In diesem Fall ex. [mm] (I-A)^{-1} [/mm] und es gilt [mm] \summe_{m=0}^{\infty} A^m [/mm] = [mm] (I-A)^{-1}.
[/mm]
Mit diesem Satz lässt sich bspsweise folgende Ungleichung zeigen:
[mm] \frac{1}{1+ \|A\|} \leq \|(I-A)^{-1}\| \leq \frac{1}{1-\|A\|}
[/mm]
(gilt für eine induzierte Matrixnorm [mm] \| \cdot \| [/mm] und Matrix A mit [mm] \rho(A)<1.)
[/mm]
hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Riley
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sollte dann aber der Sprektralradius >= 1 sein, könnte man dann die Matrix normieren die Norm für die normierte Matrix abschätzen und dann wieder mit dem Normierungsfaktor multiplizieren.? Oder geht das nicht?
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Hallo victory_hh,
> sollte dann aber der Sprektralradius >= 1 sein, könnte man
> dann die Matrix normieren die Norm für die normierte Matrix
> abschätzen und dann wieder mit dem Normierungsfaktor
> multiplizieren.? Oder geht das nicht?
> x
Du kannst dann für die transformierte Matrix Riley's Ungleichung verwenden.
Und hilft Dir das weiter?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mi 21.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
ich bin gerade am rumprobieren mit Matlab.
irgendwie klappts noch nicht ganz.
Na ja mal sehen . . .
Danke erstmal an alle
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Leider klappt das nicht.
Mit [mm] \rho(A)<1 [/mm] ist doch der Spektralradius also der betragsgrößte Eigenwert von A gemeint. Berechne ich nun von so einer Matrix die Maximumsnorm (ist ja auch eine induzierte norm) so erhalte ich aber einen Wert größer 1 und somit einen negativen Abschätzungwert, was ja nicht geht.
Wie heißt denn der Satz von oben genau, damit ich es im Buch mal genau nachlesen kann.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Riley |
mhm, also der spektralradius ist ja das infimum aller induzierten normen, aber hast du mal direkt den Spektralradius mit matlab ausgerechnet?
was meinst du mit maximumsnorm? kenn die nur für vektoren. oder meinst du die zeilensummennorm?
Also bei uns in der VL hieß der Satz einfach "Neumannsche Reihe" ...
Viele Grüße,
Riley
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also nochmal:
ich habe den betragsgrößten Eigenwert berechnet. Dann die zuffälige Matrix ( rand(500,500) ) mit dem Wert normiert. Sie hatte dann alle Eigenwerte kleiner 1.
d.h. das Kriterium von oben erfüllt. Dann habe ich einfach norm(A,'inf') also die Zeilensummennorm berechnet von A. Dann war sie baer größer als 1. In der Abschätzung wäre damit ein negatives Ergebnis, was dann von Matlab bestätigt wurde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Riley |
hm, das ist schlecht. hast dus mal mit einer andren ind. norm, norm(A) oder norm(A,1) versucht?
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Hab den Satz in einem Buch gefunden, dort wird noch gefordert dass auch die Norm <= 1 ist. Wie ist es nun bei Zeilensummennorm. Ist da immer eins von beiden größer, Norm oder Spektralradius, oder gibt's keine gesetzesmäßigkeit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 21.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
ich war so froh, mir hat jemand gleich sofort auf meine frage geantwortet. Wo ist denn nun die liebe Riley?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Do 22.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
also vielen Dank an dieser Stelle allen die mir hier geholfen haben
bis dann
(man kann die Frage deaktivieren)
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Es schneit nun so, dass ich damit nur für bestimmte matrizen die Norm der inversen bestimmen kann. Vor allem stört mich diese Einheitsmatrix in der Klammer. Wie könnte man hier vorgehen um auch auf alle Matrizen den Satz anwenden zu können.???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 25.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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