Matrixnorm - Spektralradius < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 Di 17.06.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
folgendes:
In der Numerik-Vorlesung haben wir zum Einstieg in die numerische Herangehensweise an lineare Gleichungssysteme die Matrixnormen definiert.
Davon habe ich allerdings noch nie was gehört.
Definition:
||A||= max [mm] \bruch{||A*x||}{||x||} [/mm] = [mm] max_{||x||=1} [/mm] ||A*x||, mit x als Vektor aus einem Vektorraum und A als Matrix.
Soweit verstehe ich das.
Nun:
[mm] ||A||_{2}=\wurzel{p(A*A^{t})} [/mm] =max [mm] \wurzel{ |\lambda |} [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] A*A^{t} [/mm] ist.
Zwei Fragen:
1. Folgt diese Formel für [mm] ||.||_{2} [/mm] aus der obigen Definition?
2. p soll der "Spektralradius" sein. Was hat es damit auf sich? Das mit dem größten Eigenwert des Produkts [mm] A*A^{t} [/mm] ist ja verständlich, aber wie man davon auf dieses p kommt, weiß ich nicht...
Kennt sich da wer aus?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:07 Di 17.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Paivren,
> Definition:
> ||A||= max [mm]\bruch{||A*x||}{||x||}[/mm] =
Achtung: Maximum über [mm] $x\not=0\$.
[/mm]
> [mm]max_{||x||=1}[/mm] ||A*x||,
> Nun:
> [mm]||A||_{2}=\wurzel{p(A*A^{t})}[/mm] =max [mm]\wurzel{ |\lambda |}[/mm]
> wobei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von [mm]A*A^{t}[/mm] ist.
Achtung! Siehe unten.
> Zwei Fragen:
> 1. Folgt diese Formel für [mm]||.||_{2}[/mm] aus der obigen
> Definition?
> 2. p soll der "Spektralradius" sein. Was hat es damit auf
> sich? Das mit dem größten Eigenwert des Produkts [mm]A*A^{t}[/mm]
> ist ja verständlich, aber wie man davon auf dieses p
> kommt, weiß ich nicht...
Es geht hier um Matrixnormen, die über Operatornormen de-
finiert sind, sodass die wichtigsten Matrixnormen von den
p-Normen
[mm] \|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^\frac{1}{p}
[/mm]
induziert sind. Die Spektralnorm ist die durch die eukli-
dische Norm induzierte Norm:
[mm] \|A\|_2=\max_{\|x\|_2=1}\|Ax\|_2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^H*A)},
[/mm]
wobei wir für den Wurzelausdruck verschiedene Konventionen
benutzen. Viele davon sind irreführend, aber gemeint ist im
Grunde die Quadratwurzel des größten Eigenwerts von [mm] $A^H*A\$.
[/mm]
Oben habt ihr das mit der transponierten Matrix definiert,
aber das gilt nur im reellen Fall, sodass ich persönlich
lieber die adjungierte Matrix betrachte.
Ist es jetzt klar(er)?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Di 17.06.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Acht,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Das bedeutet, unter der Wurzel steht nicht etwa das Produkt aus einer Zahl p mit [mm] A*A^{adj}, [/mm] sondern die Klammer bedeutet p in ABHÄNGIGKEIT von [mm] A*A^{adj} [/mm] und p ist dabei der größte Eigenwert dieses Matrixprodukts?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Acht,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>
> Das bedeutet, unter der Wurzel steht nicht etwa das Produkt
> aus einer Zahl p mit [mm]A*A^{adj},[/mm] sondern die Klammer
> bedeutet p in ABHÄNGIGKEIT von [mm]A*A^{adj}[/mm] und p ist dabei
> der größte Eigenwert dieses Matrixprodukts?
Der betragsgrößte Eigenwert.
FRED
>
>
> Gruß
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