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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Snouty |
| Aufgabe | [mm]
||A||_2 * ||A^{-1}||_2 = \bruch{\lambda_{max}(A)}{\lambda_{min}(A)} [/mm]
mit [mm] A \in\IR^{nxn}[/mm], symmetrisch, positiv definit
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nach einiger Recherchen (unser Prof gibt uns leider kein Skript :-( ) bin ich aktuell auf folgendem Stand:
1. Ich unterteile die linke Seite in
[mm] ||A||_2 = \lambda_{max}(A) [/mm] und
[mm] ||A^{-1}||_2 = \bruch{1}{\lambda_{min}(A)} [/mm]
2. [mm] ||A||_2 = \wurzel{A*A^T}[/mm]
Da die Matrix Symmetrisch ist, ist [mm] A = A^T [/mm]
daraus würde nach meiner Theorie folgen, dass [mm] \wurzel{A*A^T} = \wurzel{A^2} [/mm]
Kann ich nun (falls es soweit richtig ist) [mm] A^2 [/mm] einfach durch [mm] \lambda_{max}^2(A) [/mm] ersetzen?
Falls ja wäre, da die Matrix positiv definit ist, [mm] \wurzel{\lambda_{max}^2(A)} = \lambda_{max}(A) [/mm]
Für [mm] ||A^{-1}||= \bruch{1}{\lambda_{min}(A)} [/mm] habe ich leider, falls die inverse einer symmetrischen Matrix nicht auch wieder symmetrisch ist, keine Idee :-(
Vielen Dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich habe es mal gerade ausprobiert, übernehme aber keine Haftung für eventuelle Fehler:
Benötigtest Vorwissen:
1.) $A$ positiv definit [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] Alle Eigenwerte von $A$ sind positiv
2.) $A$ invertierbar: [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von $A$ [mm] $\Longrightarrow$ $\lambda^{-1}$ [/mm] Eigenwert von [mm] $A^{-1}$ [/mm] (bei Dir: [mm] $\lambda,\lambda^{-1}$ [/mm] beide positiv, da $A$ positiv definit)
Wir betrachten die Spektralnorm von $A$ beginnen mit dem ersten Ausdruck:
[mm] $||A||_2$
[/mm]
[mm] =$\sqrt{\lambda_{max}(A^HA)}$ [/mm] (nach Definition der Spektralnorm)
[mm] =$\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}$ [/mm] (da $A$ reell gilt: [mm] $A^H=A^T$)
[/mm]
[mm] =$\sqrt{\lambda_{max}(A^2)}$ [/mm] (da $A$ symmetrisch gilt: [mm] $A^T=A$)
[/mm]
[mm] =$\sqrt{(\lambda_{max}A)^2}$ [/mm] (??)
[mm] =$\lambda_{max}(A)$
[/mm]
Damit ist [mm] $||A||_2=\lambda_{max}(A)$ [/mm] der größte Eigenwert von $A$. Für den zweiten Term haben wir
[mm] $||A^{-1}||_2$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{\lambda_{max}((A^{-1})^H(A^{-1}))}$ [/mm] (nach Definition der Spektralnorm)
[mm] $=\sqrt{\lambda_{max}((A^{-1})^T(A^{-1}))}$ [/mm] (da [mm] $A^{-1}$ [/mm] reell gilt: [mm] $(A^{-1})^H=(A^{-1})^T$)
[/mm]
[mm] $=\sqrt{\lambda_{max}((A^T)^{-1}(A^{-1}))}$ [/mm] (Rechenregel für transp. Matrizen)
[mm] $=\sqrt{\lambda_{max}(AA^T)^{-1}}$ [/mm] (Rechenregel für inverse Matrizen)
[mm] $=\sqrt{\lambda_{max}((A^2)^{-1})}$ [/mm] (da $A$ symmetrisch gilt: [mm] $A^T=A$)
[/mm]
[mm] $=\sqrt{\lambda_{max}((A^{-1})^2)}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{(\lambda_{max}(A^{-1}))^2}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{\left(\frac{1}{\lambda_{min}(A)}\right)^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\lambda_{min}(A)}$
[/mm]
Produktbildung liefert Dir nun die Behauptung. Du musst Dir nun noch überlegen, warum
[mm] $\lambda_{max}(A^2)=(\lambda_{max}(A))^2$
[/mm]
gilt, dann bist Du fertig.
Gruß Denny
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