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| Aufgabe | Welche Matrizen B= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] sind mit [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 } [/mm] vertrauschbar, d.h. wann gilt AB=BA ?
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Hallo.
Als Hinweis stand noch dabei , dazu löse man das 4x4 Gleichungssystem a,b,c,d.
Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, dass weiß ich.
wenn ich A*B rechne und die Koeffizientenvergleiche erhalte ich
a+2c=a => c=0
a+3b=2a+b => 2b=a
3d=3d
aber ne Idee hab ich jetzt nicht wirklich..
Wie löse ich das ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MacChevap |
Ah ich hab's glaube ich : man berechnet A*B und B*A und vergleicht die einzelnen Koeffizienten :
(a+2c)x1 + (b+2d)x2=ax1+(2a+3b)x2
3cx1+3dx1=cx1+(2c+3d)x2
=> c=0
d=a+b=1
das hieße B= ( [mm] \pmat{ -2 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] der Test klappt,
a+b muss eins ergeben, daher ginge auch -9 =a ;10=b
kann , das jemand bestätigen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }=\pmat{ a & 2a+3b \\ c & 2c+3d }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }*\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ a+2c & b+2d \\ 3c & 3d }
[/mm]
also:
a=a+2c [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
c=3c [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
2c+3d=3d [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
2a+3b=b+2d [mm] \Rightarrow [/mm] a+b=d
Damit sind c und d festgelegt. Für a und b gibt es jedoch keine weiteren Bedingungen. Somit sind sie beliebig.
Die Lösung ist:
[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & a+b }
[/mm]
Ciao.
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