Matrixgleichung aus Paper < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Do 25.09.2014 | | Autor: | laupl |
Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Matrixgleichung aus einer Veröffentlichung. Die Gleichung lautet
[mm]
(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}=
(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})\boldsymbol{\Lambda}(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})^{-1}.
[/mm]
Dabei bedeutet H hermitsch (komplex konjugiert und transponiert). Alle Elemente der Matrizen [mm]\in \mathbb{C}[/mm].
Die Matrizen haben die folgenden Dimensionen:
[mm]\boldsymbol{A}[/mm]: [N x M]
[mm]\boldsymbol{S}[/mm]: [M x M]
[mm]\boldsymbol{V}[/mm]: [N x M]
[mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm]: [M x M], Diagonalmatrix
Direkt hinter dieser Gleichung steht: "It becomes clear, that [mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm] and [mm](\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}[/mm] are similar matrices and share their eigenvalues."
Kann mir jemand diese Aussage erklären? Mir ist nämlich ganz und gar nicht klar, warum das so sein sollte.
Falls die Frage so nicht zu beantworten ist, kann es gut sein, dass noch Details über die Matrizen fehlen. Dann einfach nachfragen oder beschreiben unter welchen Voraussetzungen diese Aussage zutrifft.
Dankeschön, Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Do 25.09.2014 | | Autor: | hippias |
Tip: Schau doch einmal nach, wann zwei Matrizen similar genannt werden. Dass aehnliche Matrizen gleiche Eigenwerte haben, hast Du sicher schon einmal irgendwo gehoert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Do 25.09.2014 | | Autor: | laupl |
Danke für die Antworten!
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Hallo,
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu einer Matrixgleichung aus einer
> Veröffentlichung. Die Gleichung lautet
> [mm]
(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}=
(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})\boldsymbol{\Lambda}(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})^{-1}.
[/mm]
>
> Dabei bedeutet H hermitsch (komplex konjugiert und
> transponiert). Alle Elemente der Matrizen [mm]\in \mathbb{C}[/mm].
>
> Die Matrizen haben die folgenden Dimensionen:
> [mm]\boldsymbol{A}[/mm]: [N x M]
> [mm]\boldsymbol{S}[/mm]: [M x M]
> [mm]\boldsymbol{V}[/mm]: [N x M]
> [mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm]: [M x M], Diagonalmatrix
> Direkt hinter dieser Gleichung steht: "It becomes clear,
> that [mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm] and
> [mm](\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}[/mm] are
> similar matrices and share their eigenvalues."
> Kann mir jemand diese Aussage erklären? Mir ist nämlich
> ganz und gar nicht klar, warum das so sein sollte.
Verständlich, denn die Gleichung ist ja aufgebläht wie Blätterteig...
Setze:
[mm] A=(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}
[/mm]
[mm] B=\boldsymbol{\Lambda}
[/mm]
[mm] T=\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V}
[/mm]
Dann geht die Gleichung doch über in
[mm] A=TBT^{-1}
[/mm]
Das sollte dir auf jeden Fall bekannt vorkommen. Stichwort Ähnlichkeit von Matrizen, so wie hippias es schon erwähnte.
> Falls die Frage so nicht zu beantworten ist, kann es gut
> sein, dass noch Details über die Matrizen fehlen. Dann
> einfach nachfragen oder beschreiben unter welchen
> Voraussetzungen diese Aussage zutrifft.
>
> Dankeschön, Grüße
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