Matrixgleichung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Matrizen S,T,U und V, die allesamt quadratisch,dimensionsgleich und invertierbar seien. Weiterhin seien alle Matrizen von null verschieden.
Bestimmen Sie S, sodass die Gleichung
[mm] 3S^{-1}(U^{-1})^{T}-E^{-1}S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T
[/mm]
eindeutig lösbar ist und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich! |
Hallo liebe forumfreunde,leider komme ich bei der obigen Aufgabe nicht weiter,deshlab bitte ich euch um eur ehilfe:
Mein Ansatz:
[mm] 3S^{-1}(U^{-1})^{T}-E^{-1}S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T
[/mm]
[mm] 3S^{-1}(U^{-1})^{T}-S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T
[/mm]
[mm] S^{-1}[3(U^{-1})^{T}-(U^{T})^{-1}]=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T
[/mm]
Wie komme ich jetzt weiter?was mich stört ist dieses [mm] "S^{-1}".Wie [/mm] mache ich daraus ein einfaches "S"?
Würd mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
mfg
danyal
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Hallo mathegenie,
> Betrachten Sie die Matrizen S,T,U und V, die allesamt
> quadratisch,dimensionsgleich und invertierbar seien.
> Weiterhin seien alle Matrizen von null verschieden.
> Bestimmen Sie S, sodass die Gleichung
>
> [mm]3S^{-1}(U^{-1})^{T}-E^{-1}S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T[/mm]
> eindeutig lösbar ist und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so
> weit wie möglich!
> Hallo liebe forumfreunde,leider komme ich bei der obigen
> Aufgabe nicht weiter,deshlab bitte ich euch um eur ehilfe:
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]3S^{-1}(U^{-1})^{T}-E^{-1}S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T[/mm]
Vereinfache doch erstmal die trivialen Sachen:
1) rechterhand: [mm](U^{-1})^{-1}=U[/mm]
2) linkerhand: [mm](U^T)^{-1}=(U^{-1})^T[/mm]
Weiter nehme ich an, dass mit [mm]E[/mm] die Einheitsmatrix gemeint ist?!
Dann vereinfacht sich das direkt zu [mm]2S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}VUT[/mm]
>
> [mm]3S^{-1}(U^{-1})^{T}-S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]S^{-1}[3(U^{-1})^{T}-(U^{T})^{-1}]=T^{-1}V(U^{-1})^{-1}T[/mm]
Wieso sollte das linkerhand gelten?
Die Multiplikation ist i.A. nicht kommutativ bei Matrizen ...
Fasse "besser" mal wie oben beschrieben zusammen.
Dann von rechts mit [mm]U^T[/mm] multiplizieren ...
Dann ist es doch nicht mehr weit!
>
> Wie komme ich jetzt weiter?was mich stört ist dieses
> [mm]" s^{-1}".wie$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%24$" s^{-1}".wie"="">"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%3Cspan%20class%3D$"math">![$%24[/mm]]() "="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] s^{-1}".wie"=""> [/mm] mache ich daraus ein einfaches "S"?
>
> Würd mich über jede Hilfe freuen.
> Vielen Dank im Voraus.
>
> mfg
> danyal
Gruß
schachuzipus
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Sorry ich hab die aufgabe falsch abgetippt,ich werde sie jetzt korrigieren.
> Hallo mathegenie,
>
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> > Betrachten Sie die Matrizen S,T,U und V, die allesamt
> > quadratisch,dimensionsgleich und invertierbar seien.
> > Weiterhin seien alle Matrizen von null verschieden.
> > Bestimmen Sie S, sodass die Gleichung
> >
[mm] 3S^{-1}(U^{-1})^{T}-E^{-1}S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}
[/mm]
> > eindeutig lösbar ist und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis
> so
> > weit wie möglich!
> > Hallo liebe forumfreunde,leider komme ich bei der
> obigen
> > Aufgabe nicht weiter,deshlab bitte ich euch um eur ehilfe:
> >
Mein Ansatz:
[mm] 3S^{-1}(U^{-1})^{T}-E^{-1}S^{-1}(U^{T})^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}
[/mm]
[mm] 3S^{-1}(U^{-1})^{T}-S^{-1}(U^{-1})^{T}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}
[/mm]
> 1) rechterhand: [mm](U^{-1})^{-1}=U[/mm]
das geht ja nicht mher,da die aufgabe eine andere ist,hatte falsch abgetippt gehabt.(sorry)
2) linkerhand: [mm](U^T)^{-1}=(U^{-1})^T[/mm]
>
> Weiter nehme ich an, dass mit [mm]E[/mm] die Einheitsmatrix gemeint
> ist?!
genau E=Einheitsmatrix
Wie komme ich denn jetzt weiter,die Vereinfachung auf der rechten Seite geht ja jetzt nicht mehr.
Würd mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
mfg
danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Sa 17.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
$ [mm] 3S^{-1}(U^{-1})^{T}-S^{-1}(U^{-1})^{T}=T^{-1}V(U^{-1})^{T} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow2S^{-1}(U^{-1})^{T}=T^{-1}V(U^{-1})^{T} [/mm] $
Multipliziere nun von rechts mit dem Inversen von [mm] (U^{-1})^{T}
[/mm]
$ [mm] \Leftrightarrow2S^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}\cdot\ldots [/mm] $
Multipliziere nun noch mit 1/2
Marius
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> Hallo
>
> Du hast:
>
> [mm]3S^{-1}(U^{-1})^{T}-S^{-1}(U^{-1})^{T}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow2S^{-1}(U^{-1})^{T}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}[/mm]
>
> Multipliziere nun von rechts mit dem Inversen von
> [mm](U^{-1})^{T}[/mm]
>
[mm] \Leftrightarrow2S^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}*((U^{1})^{T})^{-1}
[/mm]
NR: [mm] (U^{-1})^{T}*((U^{1})^{T})^{-1}=E [/mm] oder?
wenn ja dann multipliziere ich ja mit 1/2,ok dann habe [mm] S^{-1} [/mm] alleine stehen
[mm] S^{-1}=0.5 [/mm] * [mm] T^{-1}*V [/mm] um jetzt zu erhalten,muss ich einfach den kehrwert bilden,sodass
[mm] S=2T*V^{-1} [/mm] rauskommt?ist das richtig?wenn ja ,darf man bei matrixoperationen dne kehrwert bilden?
vielen dank im voraus.
mfg
danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Sa 17.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Hallo
> >
> > Du hast:
> >
> > [mm]3S^{-1}(U^{-1})^{T}-S^{-1}(U^{-1})^{T}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}[/mm]
> >
> > [mm]\Leftrightarrow2S^{-1}(U^{-1})^{T}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}[/mm]
> >
> > Multipliziere nun von rechts mit dem Inversen von
> > [mm](U^{-1})^{T}[/mm]
> >
> [mm]\Leftrightarrow2S^{-1}=T^{-1}V(U^{-1})^{T}*((U^{1})^{T})^{-1}[/mm]
>
> NR: [mm](U^{-1})^{T}*((U^{1})^{T})^{-1}=E[/mm] oder?
Korrekt
> wenn ja dann multipliziere ich ja mit 1/2,ok dann habe
> [mm]S^{-1}[/mm] alleine stehen
> [mm]S^{-1}=0.5[/mm] * [mm]T^{-1}*V[/mm] um jetzt zu erhalten,muss ich
> einfach den kehrwert bilden,sodass
>
Nein, invertiere beide Seiten, also:
[mm] $S^{-1}=0.5T^{-1}V$
[/mm]
[mm] $\leftrightarrow S=\left(0.5T^{-1}V\right)^{-1}$
> [/mm] [mm]S=2T*V^{-1}[/mm] rauskommt?ist das richtig?wenn ja ,darf man bei
> matrixoperationen dne kehrwert bilden?
Nein, nicht ohne weiteres.
Bedenke, dass
[mm] (A\cdot B)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1} [/mm] .
>
> vielen dank im voraus.
> mfg
> danyal
Marius
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