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Hallo liebe Leute,
ich habe eine Frage bezüglich einer Matrixexponential Abschätzung.
Verbal ausgedrückt geht es um folgendes. Ich habe eine negativ definite quadratische Matrix A. Ich würde gerne zeigen dass die Norm einer solchen Matrixexponentialfunktion immer kleiner wird, desto kleiner(also negativer) die Eigenwerte von A sind.
Ich habe bereits das Lemma bzw. das Theorem gefunden das sagt:
[mm] ||e^{At}|| \le e^{\lambda t} \quad \forall t\ge [/mm] 0
was genau meiner Fragestellung entspricht. Nur leider finde ich absolut keine Beweisführung dazu. Ich lese zwar mal hier und da etwas von Transformationen etc aber eben keine Beweisführung.
Ich selbst wollte das ganze lösen, indem ich die besagte Matrixexponentialfunktion in die kanonische Normalform transformiere. Habe dann allerdings das Problem, dass ich in dieser kanonischen Normalform noch Eigenvektoren von A stehen habe. Entsprechend müsste ich auch noch zeigen wie sich die Eigenvektoren in Abhängigkeit der Eigenwerte verändern.
Ich denke daher das die oben stehende Ungleichung schon der richtige Weg ist, aber ich würde gerne wissen wie ich dazu komme. Habe dies auch noch in abgewandelter Form gefunden:
[mm] ||e^{At}|| \le \beta e^{\lambda t} \quad \forall t\ge [/mm] 0, [mm] \beta [/mm] >0
Würde mich über Hilfe und/oder Literatur für eine Beweisführung freuen. Ich finde leider keine.
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Do 02.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Leute,
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> ich habe eine Frage bezüglich einer Matrixexponential
> Abschätzung.
> Verbal ausgedrückt geht es um folgendes. Ich habe eine
> negativ definite quadratische Matrix A. Ich würde gerne
> zeigen dass die Norm einer solchen
> Matrixexponentialfunktion immer kleiner wird, desto
> kleiner(also negativer) die Eigenwerte von A sind.
>
> Ich habe bereits das Lemma bzw. das Theorem gefunden das
> sagt:
>
> [mm]||e^{At}|| \le e^{\lambda t} \quad \forall t\ge[/mm] 0
Was ist denn hier [mm] \lambda [/mm] ???
>
> was genau meiner Fragestellung entspricht. Nur leider finde
> ich absolut keine Beweisführung dazu. Ich lese zwar mal
> hier und da etwas von Transformationen etc aber eben keine
> Beweisführung.
> Ich selbst wollte das ganze lösen, indem ich die besagte
> Matrixexponentialfunktion in die kanonische Normalform
> transformiere. Habe dann allerdings das Problem, dass ich
> in dieser kanonischen Normalform noch Eigenvektoren von A
> stehen habe. Entsprechend müsste ich auch noch zeigen wie
> sich die Eigenvektoren in Abhängigkeit der Eigenwerte
> verändern.
> Ich denke daher das die oben stehende Ungleichung schon
> der richtige Weg ist, aber ich würde gerne wissen wie ich
> dazu komme. Habe dies auch noch in abgewandelter Form
> gefunden:
>
>
> [mm]||e^{At}|| \le \beta e^{\lambda t} \quad \forall t\ge[/mm]
> 0, [mm]\beta[/mm] >0
Was ist [mm] \lambda [/mm] ? Und was ist [mm] \beta [/mm] ??
Für alle [mm] \beta [/mm] >0 gilt obiges sicher nicht, denn sonst hätten wir mit [mm] \beta \to [/mm] 0, dass [mm] ||e^{At}||=0 [/mm] wäre, was absurd ist !
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> Würde mich über Hilfe und/oder Literatur für eine
> Beweisführung freuen. Ich finde leider keine.
Ich kann Dir folgendes anbieten. Mit einer submultiplikativen Norm $||*||$ auf dem Raum der reellen oder komplexen $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrizen ist:
[mm] ||e^B||=||\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{B^n}{n!}|| \le \summe_{n=0}^{\infty}||\bruch{B^n}{n!}|| \le \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{||B||^n}{n!}=e^{||B||}.
[/mm]
Ist nun $z [mm] \in \IC$ [/mm] und $B=zA$, so folgt:
[mm] ||e^{zA}|| \le e^{|z|*||A||}.
[/mm]
Für $t [mm] \in \IR$ [/mm] mit $t [mm] \ge [/mm] 0$ ergibt sich
[mm] ||e^{tA}|| \le e^{t*||A||}.
[/mm]
FRED
>
> Mfg
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Do 02.07.2015 | | Autor: | HeisenPhil |
[mm] \lambda [/mm] ist ein EW der Matrix A, die Eigenwerte von A sind in der Annahme immer negativ.
[mm] \beta [/mm] ist einfach ein Skalar, allerdings verstehe ich nicht nicht warum
[mm] \beta [/mm] >0 nicht funktionieren sollte. Im Prinzip kann ich sagen es gibt zu jedem EW (wobei immer vom Betragsmäßig größten EW ausgegangen wird) ein entsprechendes [mm] \beta [/mm] so dass die Ungleichung gilt.
Diese Ungleichung habe ich mir nicht ausgedacht!
P.s deine Rechnung ist plausibel, zielt aber nicht auf das ab was ich haben möchte. Wenn ich es mal laienhaft ausdrücken darf, so hast du mir die Dreiecksungleichung für Matrixexponentialfunktionen gegeben. Ich suche nach einem Beweis wie er in meiner Ungleichung steht, in Abhängigkeit meiner Eigenwerte (bzw des betragsmäßig größten EW)
LG
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