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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Do 17.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
also ich verstehe das immer noch nicht...Ich würde aufjedenfall mal gerne wissen wozu das überhaupt gut ist, also wozu ich das brauche???Das geht einfach nicht in meinen Kopf...Kann mir das nicht jemand ganz simpel erklären? Ich kann dazu leider keine eigenen Ansätze hier rein stellen, da ich einfach keine habe...so traurig das auch leider ist.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich versuch es mal. Im Folgenden sei A stets eine reelle $n [mm] \times [/mm] n - $ Matrix
Dir dürfte bekannt sein, dass die Matrizen-Reihe
[mm] $e^A [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{A^n}{n!}$
[/mm]
konvergiert . Für $t [mm] \in \IR$ [/mm] ist dann
[mm] $e^{tA} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^nA^n}{n!}$.
[/mm]
Dafür schreibt man manchmal auch [mm] $e^{At}$.
[/mm]
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Nun betrachte das lineare homogene Differentialgleichungssytem
(*) $y' = A*y$
Bezeichne die j-te Spalte der Matrix [mm] $e^{tA}$ [/mm] mit [mm] $y_j(t)$ [/mm] (j = 1. ..,n).
Dann ist [mm] y_j [/mm] eine Funktion [mm] y_j: \IR \to \IR^n.
[/mm]
Die Funktionen [mm] y_1, [/mm] ..., [mm] y_n [/mm] sind Lösungen von (*), es gilt noch mehr:
{ [mm] y_1, [/mm] ..., [mm] y_n [/mm] }
ist ein Fundamentalsystem von (*), d.h.: die allgemeine Lösung von (*) lautet:
$y = [mm] c_1y_1+ [/mm] ... [mm] +c_ny_n$
[/mm]
( [mm] $c_1, [/mm] ..., [mm] c_n \in \IR$).
[/mm]
Ist [mm] x_0 \in \IR^n [/mm] gegeben, so kannst Du neben (*) auch noch das Anfangswertproblem
$y' = A*y$
$y(0) = [mm] x_0$
[/mm]
Betrachten. Dieses Anfangswertproblem hat eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich:
$y(t) = [mm] e^{tA}x_0$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Do 17.09.2009 | | Autor: | uecki |
Heisst das Anfangswertproblem nicht: y'=A*y und y(0)= [mm] y_{0} [/mm] ?
Dann wäre die eindeutig bestimmte Lösung: y(t) = [mm] y_{0} [/mm] * [mm] e^{At}.
[/mm]
Also in meinen Unterlagen steht das Anfangswertproblem immer so da, deswegen frage ich nur nach.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Heisst das Anfangswertproblem nicht: y'=A*y und y(0)=
> [mm]y_{0}[/mm] ?
Das sind doch nur Bezeichnungen !! Ob [mm] x_0 [/mm] oder [mm] y_0 [/mm] ist doch so egal wie wenn in China ein Sack Reis umfällt. Ich mache jede Wette, dass es irgendwo einen Dozenten gibt, der für das AWP
y'=A*y und y(0)= [mm]u_{0}[/mm]
schreibt.
> Dann wäre die eindeutig bestimmte Lösung: y(t) = [mm]y_{0}[/mm] *
> [mm]e^{At}.[/mm]
So kann man das auch schreiben, allerdings steht jetzt der Vektor vor der Matrix. Ich mag das nicht so arg.
FRED
> Also in meinen Unterlagen steht das Anfangswertproblem
> immer so da, deswegen frage ich nur nach.
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Do 17.09.2009 | | Autor: | uecki |
Ok, alles klar, vielen Dank. Ich wollte nicht an deiner Antwort zweifeln 
Ich geh das jetzt noch mal in Ruhe durch, hoffe das ich es dann verstehe.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, alles klar, vielen Dank. Ich wollte nicht an deiner
> Antwort zweifeln
na dann bin ich aber beruhigt..........
FRED
> Ich geh das jetzt noch mal in Ruhe durch, hoffe das ich es
> dann verstehe.
> LG
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[Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]