Matrixexponential berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne:
[mm]e^\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 } [/mm]
|
Hallo allerseits,
zur Berechnung eines Matrixexponentials kenne ich zwei Möglichkeiten:
Man kann zum einen die Folgepotenzen einer Matrix berechnen (also [mm]A^2, A^3, A^4, ...[/mm]) und daraus [mm]A^n[/mm] ermitteln womit man auch schon gewonnen hat.
Wenn das nicht funktioniert gibt es auch die Möglichkeit Eigenvektoren zur gegebenen Matrix zu ermitteln, daraus eine Matrix zusammenzubasteln und dann das Matrixexponential über [mm]e^A = P^{-1} * e^{P^{-1} * A * P} * P[/mm] zu berechnen.
Der erste Weg funktioniert offensichtlich nicht immer, beim zweiten bin ich mir nicht sicher: Für die gegebene Matrix sehen schon die Eigenwerte relativ unschön aus, sodass es mir davor graut das beschriebene Prozedere komplett durchzuziehen.
Gibt es da keinen anderen Weg?
Ich weiß bspw. noch, dass gilt: [mm]e^{B * A * B^{-1}} = B * e^A * B^{-1}[/mm] (was ein wenig an dem oben aufgeführten Weg 1 erinnert)
Um das anwenden zu können müsste ich aber natürlich erst einmal eine zweite Matrix B haben. Nur wie finde ich eine solche Matrix?
Ein frohes Fest und viele Grüße,
Apfelchips
|
|
| |
|
Hallo Apfelchips,
> Berechne:
>
> [mm]e^\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 }[/mm]
>
>
>
>
> Hallo allerseits,
>
> zur Berechnung eines Matrixexponentials kenne ich zwei
> Möglichkeiten:
>
> Man kann zum einen die Folgepotenzen einer Matrix berechnen
> (also [mm]A^2, A^3, A^4, ...[/mm]) und daraus [mm]A^n[/mm] ermitteln womit
> man auch schon gewonnen hat.
>
> Wenn das nicht funktioniert gibt es auch die Möglichkeit
> Eigenvektoren zur gegebenen Matrix zu ermitteln, daraus
> eine Matrix zusammenzubasteln und dann das
> Matrixexponential über [mm]e^A = P^{-1} * e^{P^{-1} * A * P} * P[/mm] zu
> berechnen.
>
> Der erste Weg funktioniert offensichtlich nicht immer, beim
> zweiten bin ich mir nicht sicher: Für die gegebene Matrix
> sehen schon die Eigenwerte relativ unschön aus, sodass es
> mir davor graut das beschriebene Prozedere komplett
> durchzuziehen.
Die Matrix hier ist doch schnell diagonalisiert. Die Eigenvektoren sind auch nicht allzu wild ...
Ich würde diesen Weg gehen ...
>
> Gibt es da keinen anderen Weg?
> Ich weiß bspw. noch, dass gilt: [mm]e^{B * A * B^{-1}} = B * e^A * B^{-1}[/mm]
Aber doch nicht für beliebige Matrizen $B$ ?!?!
> (was ein wenig an dem oben aufgeführten Weg 1 erinnert)
> Um das anwenden zu können müsste ich aber natürlich
> erst einmal eine zweite Matrix B haben. Nur wie finde ich
> eine solche Matrix?
Diagonalisiere erstmal deine Matrix ...
>
> Ein frohes Fest und viele Grüße,
Dir auch!
> Apfelchips
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Mo 23.12.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo schachuzipus,
> > Berechne:
> >
> > [mm]e^\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 }[/mm]
> >
>
> Die Matrix hier ist doch schnell diagonalisiert. Die
> Eigenvektoren sind auch nicht allzu wild ...
>
> Ich würde diesen Weg gehen ...
du hast recht, bei [mm]e^A = P^{-1} * e^D * P[/mm] lassen sich D, P und die Inverse von P mit relativ wenig Aufwand berechnen. Das alles dann aber miteinander zu multiplizieren führt leider zu unschönen Termen – funktioniert aber.
> >
> > Gibt es da keinen anderen Weg?
> > Ich weiß bspw. noch, dass gilt: [mm]e^{B * A * B^{-1}} = B * e^A * B^{-1}[/mm]
>
> Aber doch nicht für beliebige Matrizen [mm]B[/mm] ?!?!
B muss invertierbar und A und B müssen quadratrisch sein. Weitere Einschränkungen sind mir aber nicht bekannt.
Viele Grüße,
Apfelchips
|
|
|
|
