Matrixdarstellung Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 So 03.06.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo.
Ich habe folgendes gegeben:
V ein 3-dim. VR, [mm] B={b_{1},b_{2},b_{3}} [/mm] Basis von V und [mm] \beta [/mm] eine Bilinearform auf V mit
[mm] M(\beta,B)= \pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
Zeige, dass auch [mm] B'={b_{1}+b_{2},b_{2}+b_{3},b_{2}} [/mm] eine Basis von V ist und bestimme [mm] M(\beta,B').
[/mm]
Das B' eine Basis von V ist, ist nicht schwer zu zeigen, da B' linear kombiniert auch wieder eine Linearkombination von B ist => B' lin unabh. und erzeugend.
Aber wie zeige ich den zweiten Teil der Aufgabe. Das einzige was ich konkret angegeben habe ist die Matrix [mm] M(\beta,B).
[/mm]
Mir ist weder B gegeben noch die Bilinearform [mm] \beta.
[/mm]
Wie kann ich dann [mm] M(\beta,B') [/mm] bestimmen?
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Guten Tag
du suchst ja die Matrix der Bilinearform bzgl einer anderen Basis. Und ihr hattet bestimmt auch schon matrix bzgl eines Basiswechsels.
Etwas ähnliches gilt für Matrizen von Bilinearformen. Hier gilt:
Sei [mm] (b^{'}_{1},............,b^{'}_{n}) [/mm] eine neue Basis des Vektorraumes. Dann ist [mm] G^{'} [/mm] = [mm] T^{t}GT. [/mm] Wobei T die Transformationsmatrix von B nach [mm] B^{'} [/mm] ist. Also musst die Transformationmatrix von B nach [mm] B^{'} [/mm] bestimmen und dann transponieren und dann wie oben angegeben ranmultiplizieren. So bekommst du die gesuchte Matrix
Ich wünsche einen schönen Tag
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 03.06.2007 | | Autor: | Ron85 |
Wie aber soll ich die Transformationsmatrix von B nach B' bestimmen, wenn ich keine konkrete (Zahlen) Basis B und B' gegeben habe.
Woher nehme ich die Informationen?
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Braucht du doch gar nicht. Bei der Matrix des Basiswechsels stellst du ja die neuen Basisvektoren als Linearkombination der alten Basisvektoren da. Also der erste neue Basisvektor war [mm] b_{1}+b_{2}(glaub [/mm] ich zumindest). Als Linearkombination der alten Basisvektoren dargestellt ist dass dann [mm] 1*b_{1}+1*b_{2}. [/mm] Und dass kommst in die erste Spalte deiner Transformationsmatrix. So machst du das mit den anderen basisvektoren auch.
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