Matrixdarstellung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:06 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
| Aufgabe | Hallo
Ich habe eine Aufgabe, in der ich die Matrixdarstellung einer Linearen Abbildung angeben soll. Diese soll aber ausschließlich aus Basispolynomen bestehen.
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Was Sind Basispolynome???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo
> Ich habe eine Aufgabe, in der ich die Matrixdarstellung
> einer Linearen Abbildung angeben soll. Diese soll aber
> ausschließlich aus Basispolynomen bestehen.
Hallo,
poste doch bitte die Aufgabe im Originaltext mit allem Drum und Dran.
Dann muß man nicht ins Blaue reden.
Bei "Matrixdarstellung aus Basispolynomen" ist meine Vorstellungskraft überfordert.
> Was Sind Basispolynome???
Ich gehe schwer davon aus, daß Deine Abbildung sich zwischen 2 Vektorräumen von Polynomen abspielt.
Ein Basispolynom wäre dann ein Polynom, welches in der Basis ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Die gesamte Aufgabe lautet:
Es bezeichne [mm] \IR [x]_\le [/mm] den [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller Polynome vom Grad höchstens n. Geben Sie eine Matrixdarstellung der linearen Abbildung
[mm] \integral :\IR[x]_\le3 \to \IR[x]_\le4
[/mm]
[mm] x^k \mapsto \bruch{x^{k+1}}{k+1}
[/mm]
an. Benutzen Sie dabei außschließlich Basispolynome maximalen Grades.
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> Es bezeichne [mm]\IR [x]_\le[/mm] den [mm]\IR-Vektorraum[/mm] aller Polynome
> vom Grad höchstens n. Geben Sie eine Matrixdarstellung der
> linearen Abbildung
>
> [mm]\integral :\IR[x]_\le3 \to \IR[x]_\le4[/mm]
>
> [mm]x^k \mapsto \bruch{x^{k+1}}{k+1}[/mm]
>
>
> an. Benutzen Sie dabei außschließlich Basispolynome
> maximalen Grades.
Hallo,
[mm] \integral [/mm] ist die Abbildung, die jedem Polynom vom Höchstgrad 3 sein unbestimmtes Integral zuordnet.
Diese Abbildung ist linear. Es sieht mir so aus, als könntest Du das ohne Beweis verwenden - überleg Dir ruhig trotzdem, warum das so ist.
Zur eigentlichen Aufgabe:
Lineare Abbildungen sind ja durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt, und die Werte auf einer Basis benötigst Du auch, um die darstellende Matrix anzugeben.
Ich würde es mir hier einfach machen und
als Basis von [mm] \IR(x){_\le 3} [/mm] die Basis [mm] B_3:=( 1,x,x^2,x^3) [/mm] nehmen,
als Basis von [mm] \IR(x){_\le 4} [/mm] die Basis [mm] B_4:=( 1,x,x^2,x^3,x^4) [/mm] .
Du suchst nun die darstellende Matrix [mm] M_{B_3B_4}(\integral), [/mm] welche die Abbildung [mm] \integral [/mm] bzgl. [mm] B_3 [/mm] und [mm] B_4 [/mm] beschreibt.
Dafür bestimmst Du
[mm] \integral [/mm] 1=...
[mm] \integral [/mm] x=...
[mm] \integral x^2=...
[/mm]
[mm] \integral x^3=...
[/mm]
Ich mache Dir jetzt exemplarisch für [mm] \integral x^2 [/mm] vor, was zu tun ist:
[mm] \integral x^2=\bruch{x^3}{3} [/mm] =
jetzt folgt die Darstellung in der Basis [mm] B_4
[/mm]
=0*1 + 0*x + [mm] 0*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*x^3 [/mm] + [mm] 0*x^4= \vektor{0 \\ 0\\0\\\bruch{1}{3}\\0}_{B_4}
[/mm]
Dieser Vektor kommt in die dritte Spalte der darstellenden Matrix, denn [mm] x^2 [/mm] ist ja das dritte Basiselement.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 28.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Ich hab das jetzt mal für alle gemacht, um die Matrix zu erstellen.
[mm] \integral [/mm] 1= [mm] \bruch{x}{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0*1+1*x+0*x^2+0*x^3+0*x^4=\vektor{0\\1\\0\\0\\0}
[/mm]
[mm] \integral [/mm] x = [mm] \bruch{x^2}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0*1+0*x+1*x^2+0*x^3+0*x^4 [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\1\\0\\0}
[/mm]
[mm] \integral x^3 [/mm] = [mm] \bruch{x^4}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0*1+0*x+0*x^2+0*x^3+1*x^4 [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\1}
[/mm]
Mit deinem Beispiel wäre dann die Matrix :
[mm] \pmat{0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1}
[/mm]
Ist das wirklich so einfach?????
Das kann ich irgendwie nicht glauben.
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Hallo,
es ist wirklich sehr einfach.
Allerdings habe ich eben gesehen, daß mir in meiner Antwort im Eifer des Gefechtes ein Fehler unterlaufen ist.
Ich habe ihn korrigiert - allerdings wundert es mich, daß Dir das beim Rechnen nicht aufgefallen ist.
z.B. hier:
[mm] \integral [/mm] x = [mm] \bruch{x^2}{2}= 0\cdot{}1+0\cdot{}x+\bruch{1}{2}\cdot{}x^2+0\cdot{}x^3+0\cdot{}x^4 [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\\bruch{1}{2}\\0\\0}_{B_4} [/mm]
Entsprechend die anderen. (Es bleibt also einfach.)
Wesentlich ist, daß Du nicht vergißt anzugeben, auf welche Basen sich die Matrix bezieht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Do 28.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Danke für deine Hilfe. Das es so einfach ist hätte ich nie gedacht, deshalb hätte ich das nie so gemacht. Irgendwie suche ich immer nach komplizierten lösungen.
Zum Fehler. da hast du recht das hatte mich gewundert aber hätte ja auch sein können das man nur die oberen werte vor x benutzt. Aber ist so ja noch logischer. Ich sollte nicht immer denken das alles kompliziert ist.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
[mm] n^k \mapsto\bruch {x^k+1}{k+1}
[/mm]
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> [mm]n^k \mapsto\bruch {x^k+1}{k+1}[/mm]
Hallo,
wir sind hier zwar in einem Mathematikforum, in welchem ausführliche Schilderungen mit blumigen Ausdrücken nicht nötig sind, jedoch sind ein paar erklärende Worte manchmal hilfreich.
Ich habe jetzt folgendes geraten: das da oben soll eingentlich [mm] x^k [/mm] heißen,
und statt [mm] \bruch {x^k+1}{k+1} [/mm] soll da [mm] \bruch {x^{k+1}}{k+1} [/mm] stehen,
und Du möchtest das [mm] x^k [/mm] in Deiner Aufgabenstellung gegen diesen Ausdruck austauschen?
Das habe ich getan - falls ich Dich verkehrt erraten habe, melde Dich bitte nochmal.
Du kannst übrigens Deine eigenen Beiträge nachträglich bearbeiten.
Das ermöglicht Dir ein Klick auf "eigenen Beitrag bearbeiten" (o.ä.). Du findest das dort, wo auch "Mitteilung schreiben", "antworten" usw. gewählt werden kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Habe mich leider noch nicht weiter mit der Aufgabe vertraut gemacht. Hab gerade noch eine andere fertig gemacht.
Danke für deine Antwort. Werde sie mir in ruhe anschauen und ich hoffe das es dann klappt.
Muss leider jetzt arbeiten. würde morgen meine Ergebnisse präsentieren.
Ich hoffe das ist ok.
Danke noch mal's
:)))
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