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| Aufgabe 1 | Betrachten Sie den [mm] \IR^n [/mm] mit den Basen B = [mm] {\vec{e1},...,\vec{en}} [/mm] und [mm] B'={\vec{e1'},...,\vec{en'}}. [/mm] Jeder Vektor [mm] \vec{x} \in \IR^n [/mm] lässt sich bezüglich dieser Basen eindeutig darstellen. Das heißt:
[mm] \vec{x}=\summe_{i=1}^{n}xi*\vec{ei} =\summe_{i=1}^{n}xi'*\vec{ei'}
[/mm]
Die Koeffizienten {xi} lassen sich nun in Komponentenschreibweise bezgl einer Basis schreiben. Um von einer Basisdarstellung (bzgl. B) in einer anderen (bzgl. B') zu wechseln, braucht man die Transformationsmatrizen S1, S2. Ihre Spalten werden gebildet aus der Komponentenschreibweise der Basisvektoren der einen Basis, dargestellt bezüglich der anderen:
S1 = (e1'^{B},...,en'^{B}) und [mm] S2=(e1^{B'},...,en^{B'})
[/mm]
a) Zeigen sie, dass gilt [mm] xi'=\summe_{j=1}^{n} S2_{ijxj} [/mm] und [mm] xi=\summe_{j=1}^{n} S1_{ijx'j} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) Folgern sie aus dem vorherigen Aufgabenteil, dass S1 * S2 = S2 * S1 = 1 (Identitätsmatrix) also S1 die Inverse von S2 ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!:)
Mein Hauptproblem ist, dass ich zunächst die Definition von S1 und S2 nicht wirklich richtig nachvollziehen kann. Durch die Formulierung bin ich sehr verwirrt.
Wenn ich es richtig verstehe, ist S1 gegeben durch die Basisvektoren der Basis B' allerdings dargestellt durch die Basis B. Und S2 genau andersrum dann natürlich.
Was ich bei der Aufgabe a zeigen soll habe ich glaube ich schon verstanden. Zunächst soll man ja zeigen, dass wenn man die Matrix S2 mit dem Vektor xi multipliziert dann xi' rauskommt. Und beim zweiten andersrum.
Da ich aber nicht auf den Ansatz komme, wie ich S1 und S2 darstellen kann, bringt mich das nicht sonderlich weiter.
Ich wollte die b) nur noch einmal dazu schreiben, sodass vielleicht deutlicher wird, was bei der Aufgabe gemeint ist. Solang ich S1 und S2 nicht verstanden habe genau, bringt mich das nur leider auch nicht weiter..
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 03.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Du hast es richtig verstanden. Nun musst Du ganz allgemein rechnen. e1'^{B} hat eine eindeutige Darstellung in der Basis B, also
[mm] $\vec{ e_1}'^{B}=\summe_{i=1}^{n}k_i\cdot{}\vec{e_i}$.
[/mm]
Dann musst Du, so vermute ich, nur noch einsetzen und die Summen umsortieren.
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