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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Matrix zu Eigenvekt. bestimmen
Matrix zu Eigenvekt. bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix zu Eigenvekt. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Mo 26.01.2009
Autor: Tu-er

Aufgabe
Gegeben ist die Information, dass eine nicht invertierbare Matrix die Eigenvektoren [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] zum EW 3 hat und der EV [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] zu einem anderen Eigenwert.
a) Wie lautet der EW zu [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
b) Bestimmen Sie Kern(A) und Matrix A

Wie bekomme ich den EW raus, wenn ich die EV gegeben habe?
Ich nehme an, dass das charakt. Polynom so aussieht: (3-x)(3-x)x,
aber wie geht es weiter?
Und wie bekomme ich dann eine linear unabhängige Matrix raus?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Matrix zu Eigenvekt. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mo 26.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Gegeben ist die Information, dass eine nicht invertierbare
> Matrix die Eigenvektoren [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> zum EW 3 hat und der EV [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] zu einem
> anderen Eigenwert.
>  a) Wie lautet der EW zu [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  b) Bestimmen
> Sie Kern(A) und Matrix A
>  Wie bekomme ich den EW raus, wenn ich die EV gegeben
> habe?


Hallo,

nun, es wird ja bereits gesag, daß die Eigenvektoren [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]  zum EW 3  sind.

Überlegen mußt Du nur, welcher EW zu [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] gehört.

Hier ist "nicht invertierbar" der entscheidende Hinweis.

Die Abbildung f, die durch A dargestellt wird, tut folgendes:

[mm] f(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0})=3\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

[mm] f(\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0})=... [/mm]

[mm] f(\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1})=... [/mm]

Damit seht doch dann die darstellende Matrix.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Matrix zu Eigenvekt. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Di 27.01.2009
Autor: Tu-er

Wenn der gesuchte EW zum gegebenen EV 0 ist, dann sieht die darstellende Matrix so aus
[mm]\pmat{ 3 & & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ }[/mm]
Diese Matrix wäre ja dann nicht invertierbar, aber wenn ich nun als test die EV finden möchte, komme ich nicht auf die vorgegebenen EV in der Aufgabe?


Bezug
                        
Bezug
Matrix zu Eigenvekt. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Di 27.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Wenn der gesuchte EW zum gegebenen EV 0 ist, dann sieht die
> darstellende Matrix so aus
>  [mm]\pmat{ 3 &0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ }[/mm]

Hallo,

ja, genau.

>  Diese
> Matrix wäre ja dann nicht invertierbar, aber wenn ich nun
> als test die EV finden möchte, komme ich nicht auf die
> vorgegebenen EV in der Aufgabe?

Auf welche kommst Du denn?

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Matrix zu Eigenvekt. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Di 27.01.2009
Autor: Tu-er

Wenn A meine darstellende Matrix ist muss ich doch um auf die EV zu kommen folgendes machen:

([mm]$ \pmat{ 3 &0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ } $[/mm] - z*I)*x=0

wobei z die EW sind.
Wenn ich zum Beispiel z=3 wähle komme ich auf die Matrix

([mm]$ \pmat{ 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ } $[/mm])*x=0. Aufgelöst ergibt dann den Nullvektor...
Oder was mache ich da falsch

Bezug
                                        
Bezug
Matrix zu Eigenvekt. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Di 27.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Wenn A meine darstellende Matrix ist muss ich doch um auf
> die EV zu kommen folgendes machen:
>  
> ([mm]$ \pmat{ 3 &0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ } $[/mm] -
> z*I)*x=0
>  
> wobei z die EW sind.
> Wenn ich zum Beispiel z=3 wähle komme ich auf die Matrix
>  
> [mm]$ \pmat{ 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ } $[/mm].
> Aufgelöst

Hallo,

was meinst Du mit "aufgelöst".

Du mußt jetzt den Kern dieser Matrix bestimmen.

> ergibt dann den Nullvektor...

Das ergibt nicht den Nullvektor:

Du erhältst [mm] x_3=0, [/mm] die anderen beiden frei wählbar,

also haben alle Vektoren des  Kerns die Gestalt   [mm] \vektor{r\\s\\0}= r\vektor{1\\0\\0} [/mm] +s [mm] \vektor{0\\1\\0}, [/mm] und mit [mm] (\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0}) [/mm] hast Du eine Basis zum Eigenraum zum EW 3.

Insbesondere  sind [mm] \vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0} [/mm] Eigenvektoren zum EW 3.

Gruß v. Angela

>  Oder was mache ich da falsch


Bezug
                                                
Bezug
Matrix zu Eigenvekt. bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Di 27.01.2009
Autor: Tu-er

vielen Dank für die fixe Antwort! Du bist echt eine Hilfe!

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