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| Aufgabe | Vervollständigen sie die Matrix A [mm] \in [/mm] Mat(3x4; [mm] \IF_{101}), [/mm] so dass die resultierende Matrix den Rang eins hat.
[mm] A=\pmat{ & 13&99&1 \\ & & &3 \\ 43&75& & } [/mm] |
Hallo,
damit die MAtrix den Rang eins hat, müssen alle Zeilen doch lin. abh. sein. Also habe ich mir mal überlegt welcher Faktor zwischen Zeile 1 und Zeile 2 steckt. Das ist der Faktor "3" würde ich dann sagen, also kann ich schon etwas einsetzen, denn 3*99=297=202+95 [mm] \equiv [/mm] 95mod 101. Und entsprechend ist 3*13=39 [mm] \equiv [/mm] 39 mod 101.
Also hab ich [mm] A=\pmat{ & 13&99&1 \\ &39 &95 &3 \\ 43&75& & } [/mm]
1. Ist die Vorgehensweise so richtig?
2. Habe ich richtig gerechenet?
Und jetzt wird es schwierig für mich:
ich will jetzt den Faktor zwischen erster und dritter Zeile finden, also:
13x [mm] \equiv [/mm] 75 mod 101
Jetzt habe ich mal etwas geschaut und gefunden:
13x [mm] \equiv [/mm] 75 mod 101
x [mm] \equiv \bruch{75}{13} [/mm] mod 101
und nun soll man zum Zähler ein Vielfaches von 101 dazuaddieren, so dass für den Bruch eine ganze Zahl rauskommt, oder? Und da weiss ich gerade nicht, wie ich das passende Vielfache finden kann.
Hat da jemand einen Tipp für mich?
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> Vervollständigen sie die Matrix A [mm]\in[/mm] Mat(3x4; [mm]\IF_{101}),[/mm]
> so dass die resultierende Matrix den Rang eins hat.
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> [mm]A=\pmat{ & 13&99&1 \\
& & &3 \\
43&75& & }[/mm]
> Hallo,
>
> damit die MAtrix den Rang eins hat, müssen alle Zeilen
> doch lin. abh. sein. Also habe ich mir mal überlegt
> welcher Faktor zwischen Zeile 1 und Zeile 2 steckt. Das ist
> der Faktor "3" würde ich dann sagen, also kann ich schon
> etwas einsetzen, denn 3*99=297=202+95 [mm]\equiv[/mm] 95mod 101. Und
> entsprechend ist 3*13=39 [mm]\equiv[/mm] 39 mod 101.
>
> Also hab ich [mm]A=\pmat{ & 13&99&1 \\
&39 &95 &3 \\
43&75& & }[/mm]
>
> 1. Ist die Vorgehensweise so richtig?
> 2. Habe ich richtig gerechenet?
Hallo,
ja.
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> Und jetzt wird es schwierig für mich:
> ich will jetzt den Faktor zwischen erster und dritter
> Zeile finden, also:
> 13x [mm]\equiv[/mm] 75 mod 101
Das ist eine lineare Kongruenz.
Man findet die Lösung mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus.
Schau Dich in der Richtung mal um und versuch' Dein Glück.
LG Angela
>
>
> Jetzt habe ich mal etwas geschaut und gefunden:
>
> 13x [mm]\equiv[/mm] 75 mod 101
> x [mm]\equiv \bruch{75}{13}[/mm] mod 101
> und nun soll man zum Zähler ein Vielfaches von 101
> dazuaddieren, so dass für den Bruch eine ganze Zahl
> rauskommt, oder? Und da weiss ich gerade nicht, wie ich das
> passende Vielfache finden kann.
> Hat da jemand einen Tipp für mich?
>
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Mühsam nähert sich das Eichhörnchen...
also ich habe jetzt:
ggT(13; 101)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] genau eine Lsg.
1=4*101+(-31)*13
Eine Lsg. der Gleichung ist doch [mm] (13)^{-1}*75, [/mm] da [mm] 13*(13)^{-1}*75 \equiv [/mm] 75 mod 101 ist, oder?
(-31) ist multiplikativ Iverses von 13
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \equiv [/mm] -31*75=-2325 [mm] \equiv [/mm] -2 mod 101
Also ist der Faktor zwischen 1. und 3. Zeile (-2) und somit ist:
[mm] A=\pmat{ & 13&99&1 \\ &39 &95 &3 \\ 43&75&4 & 99}
[/mm]
Richtig? Kann sein, dass mein Aufschrieb etwas wüst wirkt, doch leider hatte ich keine gute Anleitung gefunden und das teilweise selbst zusammengebastelt...
Als nächstes würde ich dann gerne von dem element [mm] a_{3,1}=43 [/mm] auf die erste zeile kommen, also auf [mm] a_{1,1}. [/mm] Von 1. Zeile zur 3. Zeile ist der faktor ja (-2). Nun die Frage: Muss ich um von 3. auf 1. Zeile zu kommen jetzt das multiplikativ Inverse zur -2 bestimmen und dann damit [mm] (-2)^{-1}*43 [/mm] mod 101 zu rechnen?
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Hallo Big_Head78,
> Mühsam nähert sich das Eichhörnchen...
>
> also ich habe jetzt:
>
> ggT(13; 101)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] genau eine Lsg.
>
> 1=4*101+(-31)*13
>
> Eine Lsg. der Gleichung ist doch [mm](13)^{-1}*75,[/mm] da
> [mm]13*(13)^{-1}*75 \equiv[/mm] 75 mod 101 ist, oder?
>
> (-31) ist multiplikativ Iverses von 13
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\equiv[/mm] -31*75=-2325 [mm]\equiv[/mm] -2 mod 101
>
> Also ist der Faktor zwischen 1. und 3. Zeile (-2) und somit
> ist:
>
> [mm]A=\pmat{ & 13&99&1 \\ &39 &95 &3 \\ 43&75&4 & 99}[/mm]
>
> Richtig? Kann sein, dass mein Aufschrieb etwas wüst wirkt,
> doch leider hatte ich keine gute Anleitung gefunden und das
> teilweise selbst zusammengebastelt...
>
Richtig.
> Als nächstes würde ich dann gerne von dem element
> [mm]a_{3,1}=43[/mm] auf die erste zeile kommen, also auf [mm]a_{1,1}.[/mm]
> Von 1. Zeile zur 3. Zeile ist der faktor ja (-2). Nun die
> Frage: Muss ich um von 3. auf 1. Zeile zu kommen jetzt das
> multiplikativ Inverse zur -2 bestimmen und dann damit
> [mm](-2)^{-1}*43[/mm] mod 101 zu rechnen?
Ja.
Gruss
MathePower
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Gut, gut...dann mal das multiplikativ Inverse zur (-2) bestimmen:
-2x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 101, ggT(-2; 101)=1
101=(-50)*(-2)+1 [mm] \gdw [/mm] 1=1*101+50*(-2) [mm] \Rightarrow (-2)^{-1}=50
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{3,1}*50=43*50=2150=101*21+29 \equiv [/mm] 29 mod 101
[mm] \Rightarrow a_{1,1}=29
[/mm]
Und nun der Faktor von der dritten Zeile zur zweiten Zeile:
[mm] a_{3,3}x \equiv [/mm] 3 mod 101 [mm] \rightarrow x=(99)^{-1}*3 [/mm] ist Lsg.
Dann wende ich den EEA an und komme zu 1=50*99-49*101
[mm] \Rightarrow (99)^{-1}=50 \Rightarrow [/mm] x=50*3=150=101+49 [mm] \equiv [/mm] 49 mod 101
[mm] \Rightarrow a_{3,1}*49=2107=20*101+87 \Rightarrow a_{2,1}=87
[/mm]
Und dann habe ich:
[mm] A=\pmat{29 & 13&99&1 \\87 &39 &95 &3 \\ 43&75&4 & 99}
[/mm]
Richtig?
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Hallo Big_Head78,
> Gut, gut...dann mal das multiplikativ Inverse zur (-2)
> bestimmen:
>
> -2x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 101, ggT(-2; 101)=1
>
> 101=(-50)*(-2)+1 [mm]\gdw[/mm] 1=1*101+50*(-2) [mm]\Rightarrow (-2)^{-1}=50[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{3,1}*50=43*50=2150=101*21+29 \equiv[/mm] 29 mod
> 101
> [mm]\Rightarrow a_{1,1}=29[/mm]
>
>
> Und nun der Faktor von der dritten Zeile zur zweiten
> Zeile:
>
> [mm]a_{3,3}x \equiv[/mm] 3 mod 101 [mm]\rightarrow x=(99)^{-1}*3[/mm] ist
> Lsg.
>
> Dann wende ich den EEA an und komme zu 1=50*99-49*101
> [mm]\Rightarrow (99)^{-1}=50 \Rightarrow[/mm] x=50*3=150=101+49
> [mm]\equiv[/mm] 49 mod 101
> [mm]\Rightarrow a_{3,1}*49=2107=20*101+87 \Rightarrow a_{2,1}=87[/mm]
>
> Und dann habe ich:
>
> [mm]A=\pmat{29 & 13&99&1 \\87 &39 &95 &3 \\ 43&75&4 & 99}[/mm]
>
> Richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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