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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 23.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Es seien K ein Körper und
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }, [/mm] a,b,c,d [mm] \in [/mm] K eine (2x2)-Matrix. Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent sind.
1. [mm] \delta [/mm] (a,b,c,d) = 0
2. Es gibt eine Zahl [mm] \lambda \in [/mm] K, sodass c= [mm] \lambda [/mm] * a und d = [mm] \lambda [/mm] * b oder a= [mm] \lambda [/mm] * c und b = [mm] \lambda [/mm] * d.
3. Es gibt eine Zahl [mm] \lambda \in [/mm] K, sodass b = [mm] \lambda [/mm] * a und d = [mm] \lambda [/mm] * c oder a = [mm] \lambda [/mm] *b und c = [mm] \lambda [/mm] * d.
Was bedeutet die dritte geometrische Bedingung geometrisch für die 2-Tupel [mm] \vektor{a \\ c} [/mm] und [mm] \vektor{b \\ d} [/mm] in K²?
Ich habe mir 2 Matrizen als Hilfe genommen,
A = [mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 3 & 6 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 3 & 6 \\ 6 & 12 }
[/mm]
Bei beiden ist die Determinante 0 und laut Aufgabenstellung erfüllen sie auch 2. und 3., somit ist 1. [mm] \gdw [/mm] 2. [mm] \gdw [/mm] 3.
Doch wie kann ich das allgemein zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es seien K ein Körper und
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d },[/mm] a,b,c,d [mm]\in[/mm] K eine (2x2)-Matrix.
> Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent sind.
>
> 1. [mm]\delta[/mm] (a,b,c,d) = 0
Was ist [mm] \delta [/mm] ? Ist das die Determinante der obigen Matrix ?
>
> 2. Es gibt eine Zahl [mm]\lambda \in[/mm] K, sodass c= [mm]\lambda[/mm] * a
> und d = [mm]\lambda[/mm] * b oder a= [mm]\lambda[/mm] * c und b = [mm]\lambda[/mm] *
> d.
>
> 3. Es gibt eine Zahl [mm]\lambda \in[/mm] K, sodass b = [mm]\lambda[/mm] * a
> und d = [mm]\lambda[/mm] * c oder a = [mm]\lambda[/mm] *b und c = [mm]\lambda[/mm] *
> d.
>
>
> Was bedeutet die dritte geometrische Bedingung geometrisch
> für die 2-Tupel [mm]\vektor{a \\ c}[/mm] und [mm]\vektor{b \\ d}[/mm] in
[mm] \vektor{a \\ c} [/mm] und [mm] \vektor{b \\ d} [/mm] sind linear abhängig.
> K²?
>
>
>
>
> Ich habe mir 2 Matrizen als Hilfe genommen,
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 4 \\ 3 & 6 }[/mm] und B = [mm]\pmat{ 3 & 6 \\ 6 & 12 }[/mm]
>
> Bei beiden ist die Determinante 0 und laut Aufgabenstellung
> erfüllen sie auch 2. und 3., somit ist 1. [mm]\gdw[/mm] 2. [mm]\gdw[/mm] 3.
>
>
> Doch wie kann ich das allgemein zeigen?
Machen wir mal die Implikation 3. [mm] \Rightarrow [/mm] 1.
Wir haben also b = $ [mm] \lambda [/mm] $ * a und d = $ [mm] \lambda [/mm] $ * c mit einem [mm] \lambda \in [/mm] K.
Berechne damit $ [mm] \delta [/mm] (a,b,c,d)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 23.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
mit b = [mm] \lambda*a [/mm] und d= [mm] \lambda [/mm] * c folgt:
[mm] \delta [/mm] (a,b,c,d) = ad - cb = a * [mm] \lambda [/mm] * c - c * [mm] \lambda [/mm] * a = 0
Dann ist 1. [mm] \gdw [/mm] 3.
Und dann zeigt man 1. [mm] \gdw [/mm] 2. genauso.
c = [mm] \lambda*a [/mm] und d= [mm] \lambda [/mm] * b
[mm] \delta [/mm] (a,b,c,d) = ad - cb = a * [mm] \lambda [/mm] * b - b * [mm] \lambda [/mm] * a = 0
Und damit ist die Aufgabe fertig.
Oder fehlt noch was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Do 24.10.2013 | | Autor: | chrisno |
> mit b = [mm]\lambda*a[/mm] und d= [mm]\lambda[/mm] * c folgt:
>
> [mm]\delta[/mm] (a,b,c,d) = ad - cb = a * [mm]\lambda[/mm] * c - c * [mm]\lambda[/mm]
> * a = 0
>
> Dann ist 1. [mm]\gdw[/mm] 3.
wieso denn? Die eine Richtung ist gezeigt, aber die andere? Wenn die Determinante Null ist, dann? Das ist auch nicht
>
>
> Und dann zeigt man 1. [mm]\gdw[/mm] 2. genauso.
>
> c = [mm]\lambda*a[/mm] und d= [mm]\lambda[/mm] * b
>
>
> [mm]\delta[/mm] (a,b,c,d) = ad - cb = a * [mm]\lambda[/mm] * b - b * [mm]\lambda[/mm]
> * a = 0
>
>
> Und damit ist die Aufgabe fertig.
>
> Oder fehlt noch was?
wie oben: die andere Richtung des Schlusses.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Do 24.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Wie müsste ich denn bei der anderen Richtung anfangen?
Zeigen, dass wenn mit b = [mm] \lambda [/mm] * a und d = [mm] \lambda [/mm] * c = 0 auch die Determinante = 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Do 24.10.2013 | | Autor: | chrisno |
> Wie müsste ich denn bei der anderen Richtung anfangen?
>
> Zeigen, dass wenn mit b = [mm]\lambda[/mm] * a und d = [mm]\lambda[/mm] * c =
> 0 auch die Determinante = 0 ist?
Wieso das denn? Das hast Du doch gerade gemacht. Aber die andere Richtung:
Sei die Determinante gleich Null.
Dann folgt .....
bis am Ende eine Aussage mit dem Lambda dasteht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Do 24.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Aber habe ich denn mit dem Beweis nicht schon gezeigt, dass die Determinante 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Do 24.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Du hast gezeigt: Wenn die Bedingung für Lambda erfüllt ist, dann folgt dass die Determinante Null ist.
Das ist die erste Hälfte. Nun musst Du die Umkehrung zeigen:
Wenn die Determinante Null ist, denn .....
Einmal zeigst Du [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Dann zeigst Du [mm] $\Leftarrow$
[/mm]
und erst wenn beides gezeigt ist, dann hast Du [mm] $\gdw$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 24.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Okay.
Also 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 3:
Sei [mm] \delta(a,b,c,d) [/mm] = 0:
[mm] \delta(a,b,c,d) [/mm] = a * [mm] \lambda [/mm] * c - c * [mm] \lambda [/mm] *a = ad-bc = 0
So?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay.
>
> Also 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 3:
>
> Sei [mm]\delta(a,b,c,d)[/mm] = 0:
>
>
> [mm]\delta(a,b,c,d)[/mm] = a * [mm]\lambda[/mm] * c - c * [mm]\lambda[/mm] *a = ad-bc
> = 0
>
>
> So?
Nein. Die Vor. ist: [mm]\delta(a,b,c,d)[/mm] = 0.
zeigen sollst Du:
es gibt eine Zahl $ [mm] \lambda \in [/mm] $ K, sodass b = $ [mm] \lambda [/mm] $ * a und d = $ [mm] \lambda [/mm] $ * c oder a = $ [mm] \lambda [/mm] $ *b und c = $ [mm] \lambda [/mm] $ * d.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Do 24.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ich glaube, jetzt weiß ich, was ihr meint.
Also z.z. [mm] \delta(a,b,c,d) [/mm] = 0
det [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ a & \lambda * a \\ c & \lambda * c } [/mm] = a * [mm] \lambda [/mm] * c - c * [mm] \lambda [/mm] * a = 0
Und mit dem vorher Gezeigtem ist 1 [mm] \gdw [/mm] 2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube, jetzt weiß ich, was ihr meint.
Das glaube ich nicht.
>
> Also z.z. [mm]\delta(a,b,c,d)[/mm] = 0
>
>
> det [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ a & \lambda * a \\ c & \lambda * c }[/mm]
> = a * [mm]\lambda[/mm] * c - c * [mm]\lambda[/mm] * a = 0
>
>
> Und mit dem vorher Gezeigtem ist 1 [mm]\gdw[/mm] 2.
nein !!!
Nochmal:
Die Vor. ist: $ [mm] \delta(a,b,c,d) [/mm] $ = 0.
zeigen sollst Du:
es gibt eine Zahl $ [mm] \lambda \in [/mm] $ K, sodass b = $ [mm] \lambda [/mm] $ * a und d = $ [mm] \lambda [/mm] $ * c oder a = $ [mm] \lambda [/mm] $ *b und c = $ [mm] \lambda [/mm] $ * d.
Ich sage Dir: A ist die Voraussetzung und B ist zu zeigen.
Zum wiederholten Male hast Du die Rollen von A und B vertauscht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 24.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Kannst du mir das bitte vormachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Kannst du mir das bitte vormachen?
Wir haben also bc=ad.
Fall 1:c [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist [mm] b=\lambda*a [/mm] mit [mm] \lambda=\bruch{d}{c}
[/mm]
Trivialerweise ist dann [mm] d=\lambda*c
[/mm]
Fall 2: c=0. Das machst Du jetzt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 25.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
c=0:
geg: b = [mm] \lambda [/mm] * a und [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{d}{c}
[/mm]
Wir wissen: ad=bc
Dann ist [mm] \lambda [/mm] = 0 und es folgt
b = 0*a
somit auch [mm] \delta [/mm] (a,b,c,d) = 0.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> c=0
>
>
> geg: b = [mm]\lambda[/mm] * a und [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{d}{c}[/mm]
Es ist doch c=0 und Du teilst durch c !?!
FRED
>
> Dann ist [mm]\lambda[/mm] = 0 und somit auch [mm]\delta[/mm] (a,b,c,d) = 0.
> Weil alles mal 0 ergibt wieder null und [mm]\lambda[/mm] ist nur
> einmal vorhanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 25.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ja sorry, da sollte c = [mm] \lambda [/mm] * d stehen...
Da c = 0, muss auch [mm] \lambda [/mm] 0 sein. Den Rest habe ich ja eben geschrieben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Fr 25.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Nein.
Gegeben: bc = ad und c = 0
Nach Deinem Lösungsversuch ist [mm] $\lambda [/mm] = 0$ und damit auch a = 0, sonst hast Du nicht geschafft das zu zeigen, was Du zeigen sollst, nämlich $a = [mm] \lambda [/mm] b$ und $c = [mm] \lambda [/mm] d$.
Bevor Du ein [mm] $\lambda$ [/mm] angibst, schreib genau auf, was aus bc = ad und c = 0 für b, a und d folgt.
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