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| Aufgabe | Seien [mm] \overline{p},\overline{q}\in\IR^{2} [/mm] verschieden, sei [mm] L\subset\IR^{2} [/mm] die Gerade durch [mm] \overline{p} [/mm] und [mm] \overline{q} [/mm] und sei [mm] \overline{x}\in\IR^{2}. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] \overline{x} \in [/mm] L genau dann gilt wenn
[mm] \vmat{1&x1&x2\\1&p1&p2\\1&q1&q2}=0 [/mm] |
Hallo,
hilfee ich habe keine Ahnung :D
Wie kann ich mir das vorstellen? In meiner Vorstellung ist x nicht auf der Geraden und schneidet sich auch nicht mit ihr. Demnach kann x nur auf der Geraden liegen, wenn die Gerade durch Null geht sowie x auf 0 liegt oder? Wie beweise ich denn sowas? Mache ich nun ein LGS daraus und löse dann nach x auf?
Bin für jede Hilfe und Anregung dankbar.
Beste Grüße
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Hallo TheRockstar,
> Seien [mm]\overline{p},\overline{q}\in\IR^{2}[/mm] verschieden, sei
> [mm]L\subset\IR^{2}[/mm] die Gerade durch [mm]\overline{p}[/mm] und
> [mm]\overline{q}[/mm] und sei [mm]\overline{x}\in\IR^{2}.[/mm] Beweisen Sie,
> dass [mm]\overline{x} \in[/mm] L genau dann gilt wenn
>
> [mm]\vmat{1&x1&x2\\1&p1&p2\\1&q1&q2}=0[/mm]
> Hallo,
>
> hilfee ich habe keine Ahnung :D
>
> Wie kann ich mir das vorstellen? In meiner Vorstellung ist
> x nicht auf der Geraden und schneidet sich auch nicht mit
> ihr. Demnach kann x nur auf der Geraden liegen, wenn die
> Gerade durch Null geht sowie x auf 0 liegt oder? Wie
> beweise ich denn sowas? Mache ich nun ein LGS daraus und
> löse dann nach x auf?
Die Steigung der Geraden ist gegeben durch:
[mm]m=\bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}[/mm]
Damit gilt auch für den Punkt [mm]\overline{x}[/mm]:
[mm]m=\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}}[/mm]
bzw.
[mm]m=\bruch{x_{2}-q_{2}}{x_{1}-q_{1}}[/mm]
Nimm dann 2 dieser 3 Gleichungen her und setze sie gleich.
>
> Bin für jede Hilfe und Anregung dankbar.
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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Also wenn ich dann zb
[mm] \bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}=\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}} [/mm]
gleich setze, kann ich doch [mm] \bruch{p_{2}}{p_{1}} [/mm] auf die linke seite bringen, sodass steht:
[mm] \bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}+\bruch{p_{2}}{p_{1}}=\bruch{x_{2}}{x_{1}}
[/mm]
Nun soll x=0 sein, also
[mm] \bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}+\bruch{p_{2}}{p_{1}}=0 [/mm] ?
Oder wie meinst du das mit Gleichsetzen?
Beste Grüße
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Hallo TheRockstar,
> Also wenn ich dann zb
>
> [mm]\bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}=\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}}[/mm]
>
>
> gleich setze, kann ich doch [mm]\bruch{p_{2}}{p_{1}}[/mm] auf die
> linke seite bringen, sodass steht:
>
> [mm]\bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}+\bruch{p_{2}}{p_{1}}=\bruch{x_{2}}{x_{1}}[/mm]
>
> Nun soll x=0 sein, also
> [mm]\bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}+\bruch{p_{2}}{p_{1}}=0[/mm] ?
>
> Oder wie meinst du das mit Gleichsetzen?
Die Gleichung
[mm]\bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}=\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}}[/mm]
ist so umzuformen, daß Du auf das Ergebnis
[mm]\vmat{1&x1&x2\\1&p1&p2\\1&q1&q2}=0[/mm]
kommst.
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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Ohje da bin ich schon wieder überfordert :(
Also ich müsste dann ja auf jedenfall beide Brüche auf eine Seite bringen und gleich 0 setzen:
[mm] \bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}-\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}}=0
[/mm]
Wie mache ich dann aus den Brüchen eine Matrix?
Besten Gruß
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Hallo TheRockstar,
> Ohje da bin ich schon wieder überfordert :(
>
> Also ich müsste dann ja auf jedenfall beide Brüche auf
> eine Seite bringen und gleich 0 setzen:
>
> [mm]\bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}-\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}}=0[/mm]
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> Wie mache ich dann aus den Brüchen eine Matrix?
Multipliziere zunächst die Gleichung mit dem Hauptnenner durch.
>
> Besten Gruß
Gruss
MathePower
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Achso.
Also hätte ich im Hauptnenner stehen, wenn ich die Nenner jeweils mit ihresgleichen erweitere:
[mm] \bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}-\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}}=0 [/mm]
[mm] ((q_{1}-p_{1})*(x_{1}-p_{1}) [/mm] und umgekehrt)
[mm] x_{1}q_{1}-2x_{1}p_{1}+p_{1}^{2}(quadrat) [/mm] ?
Dann würde stehen:
[mm] x_{1}q_{1}-2x_{1}p_{1}+p_{1}^{2}*((q_{2}-p_{2})-(x_{2}-p_{2}))=0 [/mm] ?
Das müsste ich nun ausmultiplizieren und dann nach Variablen ordnen und als LGS rechnen oder wie?
Besten Gruß
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Hallo TheRockstar,
> Achso.
>
> Also hätte ich im Hauptnenner stehen, wenn ich die Nenner
> jeweils mit ihresgleichen erweitere:
>
> [mm]\bruch{q_{2}-p_{2}}{q_{1}-p_{1}}-\bruch{x_{2}-p_{2}}{x_{1}-p_{1}}=0[/mm]
>
>
> [mm]((q_{1}-p_{1})*(x_{1}-p_{1})[/mm] und umgekehrt)
>
> [mm]x_{1}q_{1}-2x_{1}p_{1}+p_{1}^{2}(quadrat)[/mm] ?
>
> Dann würde stehen:
>
> [mm]x_{1}q_{1}-2x_{1}p_{1}+p_{1}^{2}*((q_{2}-p_{2})-(x_{2}-p_{2}))=0[/mm]
> ?
>
Ich meinte das so:
[mm]\left(q_{2}-p_{2}\right)*\left(x_{1}-p_{1}\right)-\left(x_{2}-p_{2}\right)*\left(q_{1}-p_{1}\right)=0[/mm]
Dies musst Du jetzt als Summe von Determinanten schreiben.
> Das müsste ich nun ausmultiplizieren und dann nach
> Variablen ordnen und als LGS rechnen oder wie?
>
> Besten Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo TheRockstar,
> Hmm wie geht das?
Dann weisst Du, daß
[mm]\vmat{a_{2} & a_{1} \\ b_{2} & b_{1}}=a_{2}*b_{1}-a_{1}*b_{2}[/mm]
ist.
Auf solche Ausdrücke stößt Du, wenn Du
den angegebenen Ausdruck ausmultiplzierst.
Gruss
MathePower
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Also ich müsste es dann theoretisch rückwärts machen, ja?
Also ausmultipliziert habe ich :
[mm] x_{1}q_{2}-x_{1}p_{2}-p_{2}x_{1}+p_{1}p_{2}-x_{2}q_{1}-q_{1}p_{2}-p_{2}q_{1}+p_{1}p_{2}=0
[/mm]
Jetzt habe ich aber Schwierigkeiten das rückwärts zu machen, da ich ja 3 Variablen habe..
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Hallo TheRockstar,
> Also ich müsste es dann theoretisch rückwärts machen,
> ja?
Wenn Du das so bezeichnest, ja.
>
> Also ausmultipliziert habe ich :
>
> [mm]x_{1}q_{2}-x_{1}p_{2}-p_{2}x_{1}+p_{1}p_{2}-x_{2}q_{1}-q_{1}p_{2}-p_{2}q_{1}+p_{1}p_{2}=0[/mm]
Da hast Du Dich entweder verschrieben oder
nicht richtig ausmultipliziert:
[mm]x_{1}q_{2}-x_{1}p_{2}-\blue{p_{1}q_{2}}+p_{1}p_{2}-\left\red{(}x_{2}q_{1}-\blue{x_{2}p_{1}}-p_{2}q_{1}+p_{1}p_{2}\rightt\red{)}=0[/mm]
>
> Jetzt habe ich aber Schwierigkeiten das rückwärts zu
> machen, da ich ja 3 Variablen habe..
Gruss
MathePower
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Hallo erneut,
entschuldigung das ich erst jetzt wieder schreibe..
mir erschließt sich zwar nicht wirklich, wo ich mich verrechnet habe, aber was mich viel mehr interessiert wäre der nächste schritt, wie komme ich denn da nun weiter?
Meine Überlegung war nun dahingehend, dass ich das auf eine Determinante zurückrechne..
[mm] \vmat{q_{2}&q_{1}\\x_{2}&x_{1}\\p_{2}&p{1}}=0 [/mm]
aber das wäre doch der Gleiche ausdruck wie in der Aufgabe?
Beste Grüße
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Hallo TheRockstar,
> Hallo erneut,
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> entschuldigung das ich erst jetzt wieder schreibe..
>
> mir erschließt sich zwar nicht wirklich, wo ich mich
> verrechnet habe, aber was mich viel mehr interessiert wäre
> der nächste schritt, wie komme ich denn da nun weiter?
Nun, der nächste Schritt ist diesen Ausdruck
[mm]x_{1}q_{2}-x_{1}p_{2}-p_{1}q_{2}+p_{1}p_{2}-\left(x_{2}q_{1}-x_{2}p_{1}-p_{2}q_{1}+p_{1}p_{2}\right)=0[/mm]
als Summe/Differnenz von 3 zweireihigen Determinanten zu schreiben.
Und dies dann auf in der Aufgabe stehenden Ausdruck zurückzuführen.
>
> Meine Überlegung war nun dahingehend, dass ich das auf
> eine Determinante zurückrechne..
>
> [mm]\vmat{q_{2}&q_{1}\\x_{2}&x_{1}\\p_{2}&p{1}}=0[/mm]
>
> aber das wäre doch der Gleiche ausdruck wie in der
> Aufgabe?
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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hmm also
[mm] \vmat{p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}}+\vmat{x_{1}&p_{1}\\x_{2}&p_{2}}+\vmat{x_{1}&{q_{1}\\x_{2}&q_{2}}}=0 [/mm] ?
Beste Grüße
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Hallo TheRockstar,
> hmm also
>
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> [mm]\vmat{p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}}+\vmat{x_{1}&p_{1}\\x_{2}&p_{2}}+\vmat{x_{1}&{q_{1}\\x_{2}&q_{2}}}=0[/mm]
> ?
Fast:
[mm]\vmat{p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}}\red{-}\vmat{x_{1}&p_{1}\\x_{2}&p_{2}}+\vmat{x_{1}&{q_{1}\\x_{2}&q_{2}}}=0[/mm]
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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Und damit wäre das dann bewiesen?
quasi $ [mm] \vmat{1&x1&x2\\1&p1&p2\\1&q1&q2}=0=$ \vmat{p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}}\red{-}\vmat{x_{1}&p_{1}\\x_{2}&p_{2}}+\vmat{x_{1}&{q_{1}\\x_{2}&q_{2}}} [/mm]
und die Aufgabe wäre erledigt? Wieso ist das denn ein Beweis, dass [mm] x\in [/mm] L nur dann gilt?
Beste Grüße
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Hallo TheRockstar,
> Und damit wäre das dann bewiesen?
>
> quasi [mm]\vmat{1&x1&x2\\1&p1&p2\\1&q1&q2}=0=[/mm]
> [mm]\vmat{p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}}\red{-}\vmat{x_{1}&p_{1}\\x_{2}&p_{2}}+\vmat{x_{1}&{q_{1}\\x_{2}&q_{2}}}[/mm]
>
> und die Aufgabe wäre erledigt? Wieso ist das denn ein
Ja.
> Beweis, dass [mm]x\in[/mm] L nur dann gilt?
Nun, weil die Behauptung aus der Annahme hergeleitet wurde,
daß [mm]\overline{x}[/mm] auf der Geraden, die durch [mm]\overline{p}[/mm] und [mm]\overline{q}[/mm] geht, liegt,.
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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Ok alles klar.
Vielen Dank für die Hilfe und die Ausdauer!
Schönen Abend noch
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