Matrix potenzieren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mo 27.02.2006 | | Autor: | D.Koyu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen :),
ich habe mal eine Frage zu einem bestimmten Typ von Matrix Aufgaben, und zwar geht es um das Potenzieren einer beliebigen quadratischen Matrix A, also nach [mm] A^k. [/mm] Die generelle Methode ist mir klar: Erst mal Eigenwerte ausrechnen, daraus die Eigenvektoren bestimmen, dann die Konstruktionsmatrix/Tranformationsmatrix aus den Eigenvektoren bilden, und dann über D = C^(-1) * A * C die Diagonalmatrix ausrechnen (vorher günstigerweise C orthogonalisieren, dann gilt C^(-1) = [mm] C^T), [/mm] und schliesslich gilt [mm] A^k [/mm] = C * [mm] D^k [/mm] * C^(-1). Hoffe das war einigermassen verständlich :).
Nun habe ich dazu die folgenden Fragen:
1. In allen Beispielen, die wir in den Vorlesungen bis jetzt gerechnet haben, war es so, dass genau so viele Eigenwerte und damit Eigenvektoren rauskamen wie die Zeilen-/Spaltenzahl der Matrix A. Also konnten wir dann einfach die Konstruktionsmatrix aus den Eigenvektoren zusammensetzen (also die Eigenvektoren als Spalten hintereinander schreiben, und dann hat die Konstruktionsmatrix so viele Spalten/Zeilen wie A). Nun habe ich hier aber eine Aufgabe vorliegen, wo ich nur einen Eigenvektor erhalte. Wie setze ich denn dann die Konstruktionsmatrix zusammen? Matrix A hat 3 Zeilen/Spalten, also einfach den Eigenvektor 3x hintereinander setzen oder wie??
2. Diese Beziehung D = C^(-1) * A* C für die Diagonalmatrix, gilt die IMMER für jede quadr. Matrix A, oder muss dafür A reell symmetrisch, also diagonalähnlich sein?
3. Falls Punk 2 nur für reell symmetrische Matrizen gilt, wie würde ich denn dann bei nicht symmetrischen Matrizen vorgehen?
Danke schon mal im Vorraus :)
Deniz
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:40 Mo 27.02.2006 | | Autor: | D.Koyu |
Oh entschuldigung, eine Frage habe ich noch vergessen:
4. Kann ich die Matrix C^(-1) IMMER so orthogonalisieren, in dem ich sie auf 1 normiere, also jeden Spaltenvektor [mm] \vec{x} [/mm] umforme nach [mm] \vec{x} [/mm] / [mm] |\vec{x}|, [/mm] oder muss die Matrix A dafür schon bestimmte Vorraussetzungen erfüllen? Ich kann mich nämlich noch dunkel daran erinnern, dass es bestimmte Vorraussetzungen dafür gibt, dass A bzw C überhaupt orthogonal gewählt werden kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Mo 27.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> 1. In allen Beispielen, die wir in den Vorlesungen bis
> jetzt gerechnet haben, war es so, dass genau so viele
> Eigenwerte und damit Eigenvektoren rauskamen wie die
> Zeilen-/Spaltenzahl der Matrix A. Also konnten wir dann
> einfach die Konstruktionsmatrix aus den Eigenvektoren
> zusammensetzen (also die Eigenvektoren als Spalten
> hintereinander schreiben, und dann hat die
> Konstruktionsmatrix so viele Spalten/Zeilen wie A). Nun
> habe ich hier aber eine Aufgabe vorliegen, wo ich nur einen
> Eigenvektor erhalte. Wie setze ich denn dann die
> Konstruktionsmatrix zusammen? Matrix A hat 3
> Zeilen/Spalten, also einfach den Eigenvektor 3x
> hintereinander setzen oder wie??
Du brauchst eine  Transformationsmatrix , d.h. du musst eine Basis von Eigenvektoren bestimmen, diese kannst du dann als Vektoren nebeneinander aufschreiben (siehe Link)
Wenn es keine Basis von Eigenvektoren gibt, dann ist die Matrix ja auch nicht diagonalisierbar (siehe Kriterium mit algebraische und geometrische Vielfachheit) und dann kannst du diesen Trick natürlich nicht anwenden, weil du keine Diagonalmatrix bekommst..
>
> 2. Diese Beziehung D = C^(-1) * A* C für die
> Diagonalmatrix, gilt die IMMER für jede quadr. Matrix A,
> oder muss dafür A reell symmetrisch, also diagonalähnlich
> sein?
ähm - ob eine quadratische Matrix immer diagonalisierbar ist?
Wohl kaum - es gibt verschiedene Kriterien, die man prüfen kann - schau mal in ein passendes Buch.
>
> 3. Falls Punk 2 nur für reell symmetrische Matrizen gilt,
> wie würde ich denn dann bei nicht symmetrischen Matrizen
> vorgehen?
Der ganze Ansatz klappt nur, wenn die Matrix diagonalisierbar ist
(also eine Basis gibt, bzgl der die Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix ist, also die Basis aus Eigenvektoren besteht)
Dies musst du prüfen/finden...
vielleicht solltest du dein Beispiel mit dem einen Eigenvektor mal hier aufschreiben (auch die Rechnung, wie du nur auf EINEN gekommen bist), dann kann man dir evtl. auch dabei weiterhelfen
viele Grüße
DaMenge
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