Matrix nxn in Z < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Do 24.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IZ) [/mm] eine Matrix mit ganzzahligen Einträgen. Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine Matrix B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IZ) [/mm] mit AB = [mm] I_{n} [/mm] , wenn det(A) = [mm] \pm1 [/mm] . |
Hallo,
Ist es richtig, dass die Matrix B die inverse Matrix zu A sein muss, damit eine Einheitsmatrix entsteht?
Damit die determinante von A [mm] \pm1 [/mm] ist, muss die Diagonale von oben links bis unten rechts aus einsen bestehen (minus oder plus müsste egal sein).
ist die überlegung richtig? wie soll ich es am besten zeigen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n, [mm]\IZ)[/mm] eine Matrix mit ganzzahligen
> Einträgen. Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine Matrix B
> [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n, [mm]\IZ)[/mm] mit AB = [mm]I_{n}[/mm] , wenn det(A) = [mm]\pm1[/mm]
> .
> Hallo,
> Ist es richtig, dass die Matrix B die inverse Matrix zu A
> sein muss, damit eine Einheitsmatrix entsteht?
Ja
> Damit die determinante von A [mm]\pm1[/mm] ist, muss die Diagonale
> von oben links bis unten rechts aus einsen bestehen (minus
> oder plus müsste egal sein).
Nein. Das stimmt nicht:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 4 }
[/mm]
FRED
>
> ist die überlegung richtig? wie soll ich es am besten
> zeigen?
>
> Danke!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Do 24.01.2013 | | Autor: | Aguero |
>
> Nein. Das stimmt nicht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> FRED
sondern?
da es sich um eine nxn Matrix handelt, fällt mir da nichts gutes ein..
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Tipp: Du musst für die Aufgabe zwei Richtungen zeigen, eine davon haben wir in der Vorlesung schon bewiesen! [mm] ('\Rightarrow' AB=I_n \Rightarrow [/mm] det (A) = [mm] \pm [/mm] 1)
Für die andere Richtung mache dir die Ganzzahligkeit bewusst!
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