Matrix n x n < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 16.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] A_{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 2 & 1 & ... \\ 0 & 0 & 1 & 2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 1 \\ 0 & ... & ... & 0 & 1 & 2 } [/mm] |
Hallo,
die obige Matrix ist mir gegeben.
Ich soll zeigen, dass [mm] det(A_{n}) [/mm] = [mm] 2*det(A_{n-1}) [/mm] - [mm] det(A_{n-2}) [/mm] ist für n > 2.
Mir ist irgendwie klar, dass ich hier den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden muss. Aber wie genau verstehe ich ned :-(
Das ist eine total doofe Aufgabe.
könnte mir jemand erklären wie ich solche aufgaben löse???
danke schonmal.
grüße
ali
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> [mm]A_{n}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 2 & 1 & ... \\ 0 & 0 & 1 & 2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 1 \\ 0 & ... & ... & 0 & 1 & 2 }[/mm]
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> Hallo,
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> die obige Matrix ist mir gegeben.
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> Ich soll zeigen, dass [mm]det(A_{n})[/mm] = [mm]2*det(A_{n-1})[/mm] -
> [mm]det(A_{n-2})[/mm] ist für n > 2.
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> Mir ist irgendwie klar, dass ich hier den Laplaceschen
> Entwicklungssatz anwenden muss.
Hallo ali,
Letzteres ist bestimmt eine gute Idee. Jetzt musst
du sie nur noch realisieren, d.h. mal genau kucken,
wie man diesen Satz in einem Beispiel konkret
anwendet.
Da die erste Spalte nur 2 von 0 verschiedene Werte
enthält, würde ich mal nach dieser Spalte entwickeln
und schauen, was dabei herauskommt. Offenbar
kommen als Untermatrizen wieder analoge Matrizen
wie die originale vor - oder wenigstens solche mit
analogen Determinanten.
Kleine Frage: Steht ganz links oben wirklich eine 1
(und nicht doch eine 2 wie im ganzen Rest der
Hauptdiagonale) ?
Ich rechne bei solchen Fragen gerne mal einen
ganz konkreten Fall im Detail durch. Das würde
hier bedeuten, mal etwa [mm] A_2 [/mm] , [mm] A_3 [/mm] und [mm] A_4 [/mm] und ihre
Determinanten genau unter die Lupe zu nehmen
LG, Al-Chw.
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> [mm]A_{n}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 2 & 1 & ... \\ 0 & 0 & 1 & 2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 1 \\ 0 & ... & ... & 0 & 1 & 2 }[/mm]
Hallo !
ich hatte schon gefragt, ob links oben wirklich eine 1
(und nicht doch eine 2) stehen solle.
Nun habe ich noch Folgendes bemerkt:
Es spielt gar keine Rolle, was für eine Zahl dort
steht. Man könnte also gerade definieren:
[mm]A_{n}[/mm] = [mm]\pmat{ \mbox{ \large{\red{c}}} & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 2 & 1 & ... \\ 0 & 0 & 1 & 2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 1 \\ 0 & ... & ... & 0 & 1 & 2 }[/mm]
( mit beliebigem [mm] $\mbox{\red {\large{c\,\in\ \IR}}}$ [/mm] )
Und, was ev. doch noch gesagt sein sollte:
natürlich ist mit n die Dimension der (quadratischen)
Matrix [mm] A_n [/mm] gemeint.
LG , Al-Chw.
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