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| Aufgabe | Seien A,B zwei quadratische Matrizen, die kommutieren.
Dann gilt für deren Exponentiale exp(t*(A+B))=exp(t*A)*exp(t*B)
Vergleichen sie dazu die Reihenentwicklung auf der linken Seite mit dem Cauchy Produkt auf der rechten Seite. An welcher Stelle wird die Eigenschaft der kommutierenden Matrizen wesentlich? |
Hallo,
ich habe eine Frage zu meiner Lösung. Ich weis, dass die obere Gleichung im allgemeinen nicht gilt. (Vermutlich nur für kommutierende Matrizen).
Nun habe ich die Gleichung zwar gezeigt, aber ich habe die kommutativität der Matrizen nicht benutzt!
Entweder habe ich sie unterschwellig benutzt, ohne dass ich weis wo genau, oder meine Rechnung ist ganz einfach falsch:
wäre super, wenn einer mir helfen könnte:
[mm] exp(t*A)*exp(t*B)=[\bruch{t^0}{0!}*A^0+\bruch{t^1}{1!}*A^1+...+\bruch{t^n}{n!}*A^n+...]*(\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{t^i}{i!}*B^i)
[/mm]
[mm] =(I+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{t^i}{i!}*B^i) )+...+(\bruch{t^n}{n!}*A^n [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{t^i}{i!}*A^n*B^i)+....
[/mm]
[mm] =I+\bruch{t^1}{1!}*(A+B) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{t^{i+1}}{i!}*A*B^i)+ \bruch{t^2}{2!}*(A^2+B^2)+(\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{t^{i+2}}{2!*i!}*A^2*B^i)+......
[/mm]
[mm] =I+\bruch{t^1}{1!}*[A+B] [/mm] + [mm] \bruch{t^2}{2!}*[A+B]^2+....=exp(t*(A+B))
[/mm]
kurz gesagt, man löst nach für nach die summen auf und verteilt diese anhand [mm] \bruch{t^n}{n!} [/mm] zusammen.
falls fehler bei der Schreibweise aufgetreten sind, tut es mir leid ich bin nicht so geübt darin. Bei Fragen zur Notation oder so einfach nachfragen.
Vielen Dank im Vorraus
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ich habe noch zwei Fragen zu der Aufgabe:
1) wöre diese Aufgabe auch durch Induktion zu lösen?
genauer: wenn ich zeige, dass die Summe von i=0 bis n gleich ist per induktion.
Heißt das dann auch, dass exp(t*(A+B))=exp(t*A)*exp(t*B) sein muss?
2)die Anmerkung in der Aufgabenstellung, dass man die linke Seite mit dem Cauchy-Produkt der rechten Seite vergleichen soll,
ist damit eine spezielle vorgehensweise gemeint?
wäre echt nett, wenn ihr mir helfen könntet,
ich habe jetzt schon mehrmals drüber gesehen und den Fehler nicht gefunden
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Fr 20.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich habe noch zwei Fragen zu der Aufgabe:
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> 1) wöre diese Aufgabe auch durch Induktion zu lösen?
Davon rate ich ab
> genauer: wenn ich zeige, dass die Summe von i=0 bis n
> gleich ist per induktion.
> Heißt das dann auch, dass exp(t*(A+B))=exp(t*A)*exp(t*B)
> sein muss?
>
> 2)die Anmerkung in der Aufgabenstellung, dass man die linke
> Seite mit dem Cauchy-Produkt der rechten Seite vergleichen
> soll,
> ist damit eine spezielle vorgehensweise gemeint?
Na klar, was glaubst Du denn ? Dass Du ins Kino gehen sollst ist damit nicht gemeint !
Schau mal, was ich Dir hier
https://matheraum.de/read?i=619304
geschrieben habe
FRED
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> wäre echt nett, wenn ihr mir helfen könntet,
>
> ich habe jetzt schon mehrmals drüber gesehen und den
> Fehler nicht gefunden
>
> Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Fr 20.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Für mich ist es nicht nachvollziehbar, was Du da gerechnet hast.
Stimmen kann es keinesfalls, da Du die Kommutativität der Matrizen nicht benutzt hast.
Tipps:
1. Mach doch das was Dir geraten wurde:
"Vergleichen sie dazu die Reihenentwicklung auf der linken Seite mit dem Cauchy Produkt auf der rechten Seite. An welcher Stelle wird die Eigenschaft der kommutierenden Matrizen wesentlich?"
2. Hier
$exp(t*(A+B))=exp(t*A)*exp(t*B) $
kannst Du ohne Bedenken t=1 annehmen
3. Orientiere Dich am beweis für
[mm] $e^xe^y [/mm] = [mm] e^{x+y}$ [/mm] (x,y [mm] \in\IR (\IC))
[/mm]
FRED
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