Matrix berechnen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Mi 09.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Matrix A der linearen Abbildung : [mm] R^2 [/mm] → [mm] R^2 [/mm] : v → Av
bezüglich der Standardbasis, wobei folgende Werte annimmt:
[mm] \alpha\pmat{ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 5} [/mm]
[mm] \alpha\pmat{ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 7}
[/mm]
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So bin schon den ganzen Mittag am rumprobieren, da merkt man dann wohl das man das Prinzip nicht verstanden hat.
Ich hatte zunächst folgenden Gedanken:
"bezüglich der Standarbasis, habe ich an die Einheitsbasis gedacht" ist das dasselbe?
[mm] \pmat{ 3 \\ 5} [/mm] = a * [mm] \pmat{ 1 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \pmat{ 0 \\ 1}
[/mm]
dasselbe für [mm] \pmat{ 1 \\ 7}
[/mm]
Zufälligerweise hat es ja auch zunächst gepasst, was wohl damit zusammenhängt, dass [mm] \alpha \pmat{ 1 \ 0} [/mm] steht.
Jedoch konnte ich mir aus den Gegebenheiten kein Verhältnis wie das funktionieren könnte ableiten.
Vielen Dank
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Hallo zocca21,
> Berechnen Sie die Matrix A der linearen Abbildung : [mm]R^2[/mm] →
> [mm]R^2[/mm] : v → Av
> bezüglich der Standardbasis, wobei folgende Werte
> annimmt:
>
> [mm]\alpha\pmat{ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 \\ 5}[/mm]
> [mm]\alpha\pmat{ 2 \\ 1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 7}[/mm]
>
> So bin schon den ganzen Mittag am rumprobieren, da merkt
> man dann wohl das man das Prinzip nicht verstanden hat.
>
> Ich hatte zunächst folgenden Gedanken:
> "bezüglich der Standarbasis, habe ich an die
> Einheitsbasis gedacht" ist das dasselbe?
>
> [mm]\pmat{ 3 \\ 5}[/mm] = a * [mm]\pmat{ 1 \\ 0}[/mm] + b * [mm]\pmat{ 0 \\ 1}[/mm]
>
> dasselbe für [mm]\pmat{ 1 \\ 7}[/mm]
>
> Zufälligerweise hat es ja auch zunächst gepasst, was wohl
> damit zusammenhängt, dass [mm]\alpha \pmat{ 1 \ 0}[/mm] steht.
> Jedoch konnte ich mir aus den Gegebenheiten kein
> Verhältnis wie das funktionieren könnte ableiten.
>
Setze hier die Definition der linearen Abbildung ein.
Für die Matrix A muß dann gelten:
[mm] A*\pmat{ 1 \\ 0} = \pmat{ 3 \\ 5}[/mm]
[mm]A*\pmat{ 2 \\ 1} = \pmat{ 1 \\ 7}[/mm]
mit [mm]A \in M_{2,2}[/mm]
Ausgeschrieben lautet das:
[mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}*\pmat{ 1 \\ 0} = \pmat{ 3 \\ 5}[/mm]
[mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}*\pmat{ 2 \\ 1} = \pmat{ 1 \\ 7}[/mm]
Daraus bestimmen sich die [mm]a_{ik}, \ 1 \le i,k \le 2[/mm]
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 09.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
> Ausgeschrieben lautet das:
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> [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}*\pmat{ 1 \\ 0} = \pmat{ 3 \\ 5}[/mm]
>
> [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}*\pmat{ 2 \\ 1} = \pmat{ 1 \\ 7}[/mm]
>
> Daraus bestimmen sich die [mm]a_{ik}, \ 1 \le i,k \le 2[/mm]
Okay, aber wie berechne ich das Ganze, wenn ich 4 Variablen habe(sind es doch in diesem Fall pro Ausrduck oder?)
Gibt es vielleicht eine gute Seite, die es anschaulich erklärt?
Danke,danke!
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> > Ausgeschrieben lautet das:
> >
> > [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}*\pmat{ 1 \\ 0} = \pmat{ 3 \\ 5}[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}*\pmat{ 2 \\ 1} = \pmat{ 1 \\ 7}[/mm]
>
> >
> > Daraus bestimmen sich die [mm]a_{ik}, \ 1 \le i,k \le 2[/mm]
>
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> Okay, aber wie berechne ich das Ganze, wenn ich 4 Variablen
> habe(sind es doch in diesem Fall pro Ausrduck oder?)
>
> Gibt es vielleicht eine gute Seite, die es anschaulich
> erklärt?
>
> Danke,danke!
>
>
Es liegen doch nun vier Gleichungen mit vier Variablen vor! Multiplizer mal die Vektoren miteinander und schau, was für Gleichungen du hast. Mit Gauss gehts dann weiter.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 10.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
Okay habe nun:
A= [mm] \pmat{ 3 & -5 \\ 5 & -3 }
[/mm]
Woran erkenne ich, dass ich nun so vorgehe. Das Prinzip habe ich verstanden, aber nicht warum.
Ich bekomme hier ja durch das Alpha eine Abbildung gegeben?
Was bedeutet hier bezüglich der Standardbasis?
Danke
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> Okay habe nun:
>
> A= [mm]\pmat{ 3 & -5 \\ 5 & -3 }[/mm]
>
> Woran erkenne ich, dass ich nun so vorgehe. Das Prinzip
> habe ich verstanden, aber nicht warum.
>
> Ich bekomme hier ja durch das Alpha eine Abbildung
> gegeben?
>
> Was bedeutet hier bezüglich der Standardbasis?
Hallo,
"A ist die darstellende Matrix von [mm] \alpha [/mm] bzgl. der Standardbasis" bedeutet:
Wenn Du A mit einem Vektor v, der in Koordinaten bzgl. der Standardbasis gegeben ist, multiplizierst, dann bekommst Du das Bild [mm] \alpha(v) [/mm] in Koordinaten bzgl. der Standardbasis.
Gruß v. Angela
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