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| Aufgabe | Sei [mm]$ f:\IR\to\IR:\IR^2\to\IR^2$[/mm] eine lineare Abbildung mit
[mm]$ f(\vektor{2 \\ 1})=\vektor{3\\10},f(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{4\\-1}$[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix A mit f(x)=Ax für alle x aus [mm]$ \IR^2$[/mm]. |
Ich denke man müsste erstmal die Funktionsvorschrift herausfinden, dies gelingt mir jedoch nicht, danach sollte das ja einfach zumachen sein.
Warum im Aufgaben Text bei der Funktion einmal steht das sie von R nach R geht und dann das ganze nochmal zum Quadrat weiss ich nicht denke das ist ein Druckfehler.
Also hat jemand eine Idee für die Funktionsvorschrift?
Danke
Marc
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> Sei [mm]$ f:\IR\to\IR:\IR^2\to\IR^2$[/mm] eine lineare Abbildung mit
> [mm]$ f(\vektor{2 \\ 1})=\vektor{3\\10},f(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{4\\-1}$[/mm]
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> Bestimmen Sie eine Matrix A mit f(x)=Ax für alle x aus [mm]$ \IR^2$[/mm].
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> Ich denke man müsste erstmal die Funktionsvorschrift
> herausfinden, dies gelingt mir jedoch nicht, danach sollte
> das ja einfach zumachen sein.
> Warum im Aufgaben Text bei der Funktion einmal steht das
> sie von R nach R geht und dann das ganze nochmal zum
> Quadrat weiss ich nicht denke das ist ein Druckfehler.
> Also hat jemand eine Idee für die Funktionsvorschrift?
Gesucht ist die Abbildungsmatrix $A$ der linearen Funktion $f$. Sobald Du diese Matrix $A$ bestimmt hast, lautet die Funktionsvorschrift $f(x)=Ax$
Versuche doch für die Abbildungsmatrix einen allgemeinen Ansatz, etwa so:
[mm]A=\pmat{a & b\\c & d}[/mm]
Dann erhältst Du für die vier in diesem Ansatz für $A$ auftretenden Unbekannten $a,b,c,d$ aus den Angaben über zwei Urbild/Bild-Punktpaare von $f$ folgende zwei Vektorgleichungen:
[mm]\pmat{a & b\\c & d} \pmat{2\\1}=\pmat{3\\10} \quad \text{ und } \quad \pmat{a & b\\c & d} \pmat{1\\-1}=\pmat{4\\-1}[/mm]
Diese zwei Vektorgleichungen kannst Du auch als lineares Gleichungssystem auffassen (vier Gleichungen). Löse also dieses lineare Gleichungssystem.
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Vielen dank, das war der entscheidende Hinweis. daraus ergibt sich a=7/3 b=-5/3 c=3 d=4.
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