Matrix auf Vektor abbilden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:30 Sa 23.01.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Betrachte den $\ [mm] (\IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] ) $-Vektorraum $\ [mm] M_2 (\IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] ) $ der 2x2-Matrizen mit Einträgen in $\ [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] $. Bestimmen Sie eine Basis des linearen Unterraums, der von den folgenden vier Matrizen aufgespannt wird:
$\ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $ $\ [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] $ $\ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 0 }$ [/mm] $\ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }$ [/mm] |
Hallo,
ich meine mich zu erinnern, dass es eine bijektive Abbildung von einer Matrix auf einen Vektor in Zeilen- bzw. Spaltenform so gibt, dass man die Matrizen als Vektoren aufschreiben und so die Basis bestimmen kann.
Kann mir zufaellig sagen, wie diese Abbildung genau definiert ist? Finde leider nichts dazu in meinem Skript. Die Basis zu bestimmen sollte dann nicht mehr so schwer sein.
Würde mich freuen!
Viele Grüße
ChopSuey
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> Betrachte den [mm]\ (\IZ / 3 \IZ ) [/mm]-Vektorraum [mm]\ M_2 (\IZ / 3 \IZ )[/mm]
> der 2x2-Matrizen mit Einträgen in [mm]\ \IZ / 3 \IZ [/mm].
> Bestimmen Sie eine Basis des linearen Unterraums, der von
> den folgenden vier Matrizen aufgespannt wird:
>
> [mm]\ \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] [mm]\ \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm] [mm]\ \pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 0 }[/mm]
> [mm]\ \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
Hallo,
Du kannst jede der Matrizen als Koordinatenvektor bzgl der Standardbasis E:=( [mm]\ \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}[/mm] [mm]\ \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] [mm]\ \pmat{ 0 & 0 \\ 1& 0 }[/mm] [mm]\ \pmat{ 0 & 0 \\ 0& 1}[/mm] )
schreiben.
Es ist dann [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\vektor{1\\0\\0\\¹}_E.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:44 Sa 23.01.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
danke für die schnelle Antwort.
> > Betrachte den [mm]\ (\IZ / 3 \IZ ) [/mm]-Vektorraum [mm]\ M_2 (\IZ / 3 \IZ )[/mm]
> > der 2x2-Matrizen mit Einträgen in [mm]\ \IZ / 3 \IZ [/mm].
> > Bestimmen Sie eine Basis des linearen Unterraums, der von
> > den folgenden vier Matrizen aufgespannt wird:
> >
> > [mm]\ \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] [mm]\ \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm] [mm]\ \pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 0 }[/mm]
> > [mm]\ \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
>
> Hallo,
>
> Du kannst jede der Matrizen als Koordinatenvektor bzgl der
> Standardbasis E:=( [mm]\ \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}[/mm] [mm]\ \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> [mm]\ \pmat{ 0 & 0 \\ 1& 0 }[/mm] [mm]\ \pmat{ 0 & 0 \\ 0& 1}[/mm] )
>
> schreiben.
Ok, aber warum geht das bzw woraus folgt diese Eigenschaft? Falls das ein Satz ist, kann ich diesen irgendwo einsehen und wenn möglich sogar mit Beweis?
>
> Es ist dann [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\vektor{1\\0\\0\\¹}_E.[/mm]
Und ist $ \ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\1\\2}_E [/mm] $ ?
Grüße
ChopSuey
>
> Gruß v. Angela
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Hallo,
ich glaub nicht, daß man da einen Satz angeben muß...
Aber es gibt natürlich einen passenden:
jeder n-dimensionale VR über K ist isomorph zum [mm] K^n, [/mm] und die Abbildung Vektor [mm] \to [/mm] Koordinatenvektor ist der Isomorphismus.
Gruß v. Angela
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