Matrix angewandt auf Tensor < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:34 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
Ich habe keine konkrete Aufgabe, sondern ein kleines Problem:
Ich habe in einer Aufgabe folgende Matrix ausgerechnet:
[mm] M_{f\otimes g} (E_{3}\otimes E_{2}, E_{2}\otimes E_{2} [/mm] )= [mm] \pmat{ 1 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 } [/mm] wobei [mm] E_{3} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] jeweils die Standardbasen sind.
Schön, hat geklappt,die stimmt so laut Lösung.
Mein Problem ist nun: wie wende ich diese Matrix auf ein Element aus [mm] E_{2}\otimes E_{2} [/mm] an?
Ein Element aus [mm] E_{2}\otimes E_{2} [/mm] ist ja z.B. [mm] \vektor{3 \\ 2}\otimes \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Richtig, oder bin ich schon hier auf dem Holzweg?
Dann sieht die Anwendung so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 } (\vektor{3 \\ 2}\otimes \vektor{1 \\ 0} [/mm] )
...Und was mach ich jetzt?
Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte!
Es ist zwar keine konkrete Aufgabe, aber ich weiß einfach nicht, wie man so eine Matrix behandelt.
Danke!
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[mm]\IR^2 \otimes \IR^2[/mm] entspricht [mm]\IR^4[/mm] ...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Di 19.08.2008 | | Autor: | Casy |
....stimmt natürlich, sorry für die blöde Frage....
[mm] dim(V\otimes [/mm] W) = dim(V)*dim(W), also in diesem Fall
[mm] dim(\IR^{2}\otimes \IR^{2} [/mm] ) = [mm] dim(\IR^{2})*dim(\IR^{2}) [/mm] = 2*2 =4, also ist ein Element aus [mm] E_{2} \otimes E_{2} [/mm] ein Element aus [mm] \IR^{4} [/mm] .
Und wie komme ich dann auf so ein Element?
Also, die Basis ist ja [mm] E_{2} \otimes E_{2} [/mm] , dann kann ich ja eine Linearkombination aus Basiselementen abbilden.
z.B. [mm] \vektor{3 \\ 2} \otimes\vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] 3(e_{1}\otimes e_{1})+2(e_{2}\otimes e_{1}) [/mm] , oder?
Und wie krieg ich das inn [mm] \IR^{4} [/mm] , so dass ich's auf die Matrix anwenden kann?
Wäre toll, wenn mir jemand antworten könnte! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Di 19.08.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ....stimmt natürlich, sorry für die blöde Frage....
>
> [mm]dim(V\otimes[/mm] W) = dim(V)*dim(W), also in diesem Fall
> [mm]dim(\IR^{2}\otimes \IR^{2}[/mm] ) = [mm]dim(\IR^{2})*dim(\IR^{2})[/mm] =
> 2*2 =4, also ist ein Element aus [mm]E_{2} \otimes E_{2}[/mm] ein
> Element aus [mm]\IR^{4}[/mm] .
Genau.
> Und wie komme ich dann auf so ein Element?
> Also, die Basis ist ja [mm]E_{2} \otimes E_{2}[/mm] , dann kann ich
> ja eine Linearkombination aus Basiselementen abbilden.
> z.B. [mm]\vektor{3 \\ 2} \otimes\vektor{1 \\ 0}[/mm] =
> [mm]3(e_{1}\otimes e_{1})+2(e_{2}\otimes e_{1})[/mm] , oder?
> Und wie krieg ich das inn [mm]\IR^{4}[/mm] , so dass ich's auf die
> Matrix anwenden kann?
Na, genauso, wie du aus der $2 [mm] \times [/mm] 3$ und der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix die $4 [mm] \times [/mm] 6$-Matrix bekommen hast: durch's Kroneckerprodukt!
Die Basis vom [mm] $\IR^2 \otimes \IR^2$ [/mm] die dich interessiert ist doch [mm] $e_1 \otimes e_1$, $e_1 \otimes e_2$, $e_2 \otimes e_1$, $e_2 \otimes e_2$ [/mm] (oder evtl. die mittleren beiden vertauscht), und wenn du den Vektor bzgl. dieser Basis darstellst, ist das Ergebnis gerade das Kroneckerprodukt der beiden Darstellungsvektoren bzgl. der Basis [mm] $e_1, e_2$.
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Di 19.08.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ich habe keine konkrete Aufgabe, sondern ein kleines
> Problem:
>
> Ich habe in einer Aufgabe folgende Matrix ausgerechnet:
>
> [mm]M_{f\otimes g} (E_{3}\otimes E_{2}, E_{2}\otimes E_{2}[/mm] )=
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]
> wobei [mm]E_{3}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm] jeweils die Standardbasen sind.
Was ist denn [mm] M_{f\otimes g} (E_{3}\otimes E_{2}, E_{2}\otimes E_{2})?
[/mm]
Die Matrix von [mm] f\otimes [/mm] g bzgl. dieser Basen? Dann sind die Abbildungen doch f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] und g: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}. [/mm] Dann müßte aber die Matrix nach einem Verständnis eine 4x6-Matrix sein.
> Schön, hat geklappt,die stimmt so laut Lösung.
Das wundert mich etwas, s. o.
> Mein Problem ist nun: wie wende ich diese Matrix auf ein
> Element aus [mm]E_{2}\otimes E_{2}[/mm] an?
Ja, wie wende ich f [mm] \otimes [/mm] g auf x [mm] \otimes [/mm] y an? Das müßte gesagt worden sein. Wie habt ihr denn Tensorprodukte definiert?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Di 19.08.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
> > [mm]M_{f\otimes g} (E_{3}\otimes E_{2}, E_{2}\otimes E_{2}[/mm] )=
> > [mm]\pmat{ 1 & 3 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]
> > wobei [mm]E_{3}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm] jeweils die Standardbasen sind.
>
> Was ist denn [mm]M_{f\otimes g} (E_{3}\otimes E_{2}, E_{2}\otimes E_{2})?[/mm]
>
> Die Matrix von [mm]f\otimes[/mm] g bzgl. dieser Basen? Dann sind die
> Abbildungen doch f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] und g: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}.[/mm]
Genau, f und g waren so gegeben.
> Dann müßte aber die Matrix nach einem Verständnis eine
> 4x6-Matrix sein.
wegen der Dimensionsformel: 3*2 und 2*2, oder?
>
> > Schön, hat geklappt,die stimmt so laut Lösung.
>
> Das wundert mich etwas, s. o.
Ist aber so laut Lösung :o)
>
> > Mein Problem ist nun: wie wende ich diese Matrix auf ein
> > Element aus [mm]E_{2}\otimes E_{2}[/mm] an?
>
> Ja, wie wende ich f [mm]\otimes[/mm] g auf x [mm]\otimes[/mm] y an? Das müßte
> gesagt worden sein.
Genau das weiß ich nicht....
Wie habt ihr denn Tensorprodukte
> definiert?
>
Wenn ich mich richtig erinnere, sieht doch das Tensorprodukt so aus:
[mm] V\otimes W={v_{i}\otimes w_{i} | v_{i} \in V, w_{i} \in W}
[/mm]
Stimmt das?
Da hier "V, W" beide der [mm] \IR^{2} [/mm] , also Elemente der Form [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] .
Liest du bitte einmal meinen vorigen Eintrag (hast du wahrscheinlich noch nicjt gesehen, den hab ich ganz kurz vor deinem Einteag gepostet) und sagst mir, wo mein Denkfehler liegt?
Das wäre nett!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Di 19.08.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
ich bin in Zeitnot, deswegen nur dieser ![[]](/images/popup.gif) Link. Das Schlagwort ist Kronecker-Produkt von Matrizen.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Di 19.08.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> > Die Matrix von [mm]f\otimes[/mm] g bzgl. dieser Basen? Dann sind die
> > Abbildungen doch f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] und g: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}.[/mm]
>
> Genau, f und g waren so gegeben.
Ich vermute eher dass $f$ von [mm] $\IR^2 \to \IR^3$ [/mm] geht, ansonsten macht es keinen Sinn $f$ mit einem Vektor aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] zu fuettern wie du das versuchst?
> > Dann müßte aber die Matrix nach einem Verständnis eine
> > 4x6-Matrix sein.
>
> wegen der Dimensionsformel: 3*2 und 2*2, oder?
Ja.
> > > Mein Problem ist nun: wie wende ich diese Matrix auf ein
> > > Element aus [mm]E_{2}\otimes E_{2}[/mm] an?
> >
> > Ja, wie wende ich f [mm]\otimes[/mm] g auf x [mm]\otimes[/mm] y an? Das müßte
> > gesagt worden sein.
>
> Genau das weiß ich nicht....
Na, da solltest du aber besser wissen. Das habt ihr garantiert in der Vorlesung gemacht.
(Tipp: rate doch mal wie das aussehen kann. Es gibt eigentlich nur eine vernuenftige Moeglichkeit, die nicht unnoetig kompliziert ist, und die ist auch die richtige.)
> > Wie habt ihr denn Tensorprodukte
> > definiert?
>
> Wenn ich mich richtig erinnere, sieht doch das
> Tensorprodukt so aus:
> [mm]V\otimes W=\{v_{i}\otimes w_{i} | v_{i} \in V, w_{i} \in W\}[/mm]
Nein, so ist das garantiert nicht definiert. Schau das nochmal genau nach.
(Das ist i.A. nur ein Erzeugendensystem.)
> Stimmt das?
>
> Da hier "V, W" beide der [mm]\IR^{2}[/mm] , also Elemente der Form
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] .
... was wieder dem Widerspricht, dass $f$ von [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] geht.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:56 Di 19.08.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
> > > Die Matrix von [mm]f\otimes[/mm] g bzgl. dieser Basen? Dann sind die
> > > Abbildungen doch f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] und g: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}.[/mm]
> >
> Ich vermute eher dass [mm]f[/mm] von [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm] geht, ansonsten
> macht es keinen Sinn [mm]f[/mm] mit einem Vektor aus dem [mm]\IR^2[/mm] zu
> fuettern wie du das versuchst?
Tschuldigung, natürlich geht f von [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] , hab mich verlesen. Ist ja auch logisch.
>
> > > > Mein Problem ist nun: wie wende ich diese Matrix auf ein
> > > > Element aus [mm]E_{2}\otimes E_{2}[/mm] an?
> Na, da solltest du aber besser wissen. Das habt ihr
> garantiert in der Vorlesung gemacht.
>
> (Tipp: rate doch mal wie das aussehen kann. Es gibt
> eigentlich nur eine vernuenftige Moeglichkeit, die nicht
> unnoetig kompliziert ist, und die ist auch die richtige.)
Moment, ich glaub, das war doch:
f: [mm] \IR^2 \to \IR^3
[/mm]
g: [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] f\otimes [/mm] g: [mm] \IR^2 \otimes \IR^2 \to \IR^3 \otimes \IR^2
[/mm]
>
> > Da hier "V, W" beide der [mm]\IR^{2}[/mm] , also Elemente der Form
> > [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] .
>
> ... was wieder dem Widerspricht, dass [mm]f[/mm] von [mm]\IR^3[/mm] nach
> [mm]\IR^2[/mm] geht.
...wie gesagt, Irrtum. Tut mir leid.
Aber jetzt hatte ich die Erkenntnis (und ich hoffe, dass ich's auch richtig verstanden habe): ich bleibe mal bei meinem Beispiel aus meinem 1. Eintrag:
Mit dem Kroneckerprodukt ist [mm] \vektor{3 \\ 2} \otimes \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 } [/mm] ,
wenn ich das ganz normal rechts an meine Matrix ranmultipliziere, erhalte ich ja schon das Ergebnis: [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \\ 3 \\ 0 } [/mm] .
Und beruhigenderweise kommt das gleiche raus, wenn ich mir ne geordnete Basis von [mm] \IR^{3} \otimes \IR^{2} [/mm] aufschreibe und
[mm] f(\vektor{3 \\ 2} [/mm] ) [mm] \otimes g(\vektor{1 \\ 0} [/mm] ) durch Basiselemente ausdrücke! Abrr das Kroneckerprodukt ist da schon übersichtlicher....
Stimmt's jetzt mit meinem Verständnis?
Dank euch für eure Geduld und Hilfe, Gruß!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 21.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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