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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Zusammen,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Es sei A [mm] \in [/mm] M (2 x 2, K). Zeigen Sie, dass die folgenden Aufgabe äuqivalent sind:
(i) AB = BA für alle B [mm] \in [/mm] M(2 x 2, K)
(ii) Es gibt ein k [mm] \in [/mm] K mit
A= k [mm] E_{2}= \pmat{ k & 0 \\ 0 & k }
[/mm]
Ich verstehe jetzt nicht genau, was ich eigentlich zeigen soll. Mir fehlt leider jeglicher Ansatz.
Für jede Art von Tipps bin ich dankbar,
beste Grüße
Niente
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Hallo!
> ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
> Es sei A [mm]\in[/mm] M (2 x 2, K). Zeigen Sie, dass die folgenden
> Aufgabe äuqivalent sind:
>
> (i) AB = BA für alle B [mm]\in[/mm] M(2 x 2, K)
> (ii) Es gibt ein k [mm]\in[/mm] K mit
> A= k [mm]E_{2}= \pmat{ k & 0 \\ 0 & k }[/mm]
>
> Ich verstehe jetzt nicht genau, was ich eigentlich zeigen
> soll. Mir fehlt leider jeglicher Ansatz.
Also, Äquivalenz von z. B. A und B bedeutet ja: [mm] A\gdw [/mm] B, also [mm] A\Rightarrow [/mm] B und [mm] B\Rightarrow [/mm] B. Du musst also in deinem Fall zeigen: Wenn (i) gilt, dann folgt daraus, dass auch (ii) gilt und wenn (ii) gilt, folgt daraus, dass auch (i) gilt.
Alles klar nun?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 So 11.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Niente!
Die Richtung $(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$ ist ja einfach (Einsetzen!).
Im Schritt $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$ solltest du dir klarmachen, dass die Bedingung auch für solche Matrizen $B$ gelten muss, die aus einer $1$ und drei $0$en bestehen (sogenannte Elementarmatrizen)...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Stefan,
danke für deine Antwort. Komme leider aber nicht weiter.
Zu (ii) [mm] \to [/mm] (i)
Was mache ich denn da genau? Habe doch nur A (durch (ii)) gegeben, B, aber nicht... denke ich mir B dann einfach aus, um die Kommutativität zu überprüfen? oder muss ich das mit lambda und A überprüfen? Verstehe ich leider nicht....
Zu (i) [mm] \to [/mm] (ii)
Ich weiß hier auch nicht genau, wieich vorgehen muss...
> Im Schritt [mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm] solltest du dir klarmachen,
> dass die Bedingung auch für solche Matrizen [mm]B[/mm] gelten muss,
> die aus einer [mm]1[/mm] und drei [mm]0[/mm]en bestehen (sogenannte
> Elementarmatrizen)...
Ich hoffe, du kannst mir nochmal dabei helfen!!
DAnke schon einmal
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Hallo Niente,
Stefan meinte wohl folgendes:
(i)-> (ii) Insbesondere kann man fuer B die Matrizen [mm] E_{ij} [/mm] einsetzen, deren Eintraege
bis auf die Pos (i,j) alle 0 sind, in der Pos. (i,j) steht eine 1.
Dann ist [mm] A\cdot E_{ij} [/mm] = die Matrix, die in Spalte j die Spalte i von A hat und sonst nur
Eintraege 0. [mm] E_{ij}\cdot [/mm] A ist die Matrix, deren i-te Zeile die j-te Zeile von A
enthaelt und sonst nur Nullen. Vergleich liefert dann das gewuenschte Resultat.
Die andere Richtung erhaelt man tatsaechlich durch Einsetzen von [mm] A=k\cdot [/mm] E.
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Di 13.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Niente!
Wie Mathias schon richtig schrieb, meinte ich folgendes:
Multipliziere mal
[mm] $\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0} \cdot [/mm] A = [mm] \pmat{a_{21} & a_{22} \\ 0 & 0}$
[/mm]
und
$A [mm] \cdot \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 & a_{11} \\ 0 & a_{21}}$.
[/mm]
Beides soll ja nach Voraussetzung das Gleiche sein. Jetzt vergleiche mal die einzelnen Einträge.
Was bedeutet das für die Matrix $A$ notwendigerweise?
Mache das Gleiche jetzt mal mit der Matrix [mm] $\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}$...
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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