Matrix-Beweis richtig? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 So 25.09.2011 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Einheitsmatrix ist die einzige Matrix in [mm] $\mathbb{R}^{n\times n}$, [/mm] die symmetrisch, orthogonal und positiv definit ist. |
Hallo,
entschuldigt bitte den nichtssagenden thementitel aber die beschränkte zeilenlänge in dem eingabefeld hat mir daran gehindert, etwas treffenderes das rein zu schreiben.
zum beweis:
wegen den voraussetzungen ist [mm] $A^t=A$ [/mm] und [mm] $A^t\cdot A=A\cdot A^t=E$. [/mm] insgesamt also [mm] $A^2=E$.
[/mm]
Weil A symmetrisch ist, ist A diagonalisierbar und weil A positiv definit ist, sind alle eigenwerte positiv:
[mm] $\exists S\in GL_n(\mathbb{R}): S^{-1}AS=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$, [/mm] und für alle i [mm] $\lambda_i>0$
[/mm]
Nun ist E= [mm] $S^{-1}A^2S=(S^{-1}AS)^2=diag(\lambda^2_1,...,\lambda_n^2)$. [/mm] daraus folgt [mm] $\lambda_i=1$ [/mm] weil die lambdas nicht -1 sein können. also ist 1 der einzige eigenwert und [mm] $S^{-1}AS=E \Rightarrow A=SES^{-1}=E$.
[/mm]
ist das so richtig?
lg
flo
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 So 25.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin flo!
> Zeigen Sie: Die Einheitsmatrix ist die einzige Matrix in
> [mm]\mathbb{R}^{n\times n}[/mm], die symmetrisch, orthogonal und
> positiv definit ist.
>
> zum beweis:
>
> wegen den voraussetzungen ist [mm]A^t=A[/mm] und [mm]A^t\cdot A=A\cdot A^t=E[/mm].
> insgesamt also [mm]A^2=E[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Weil A symmetrisch ist, ist A diagonalisierbar und weil A
> positiv definit ist, sind alle eigenwerte positiv:
>
> [mm]\exists S\in GL_n(\mathbb{R}): S^{-1}AS=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)[/mm],
> und für alle i [mm]\lambda_i>0[/mm]
>
> Nun ist E=
> [mm]S^{-1}A^2S=(S^{-1}AS)^2=diag(\lambda^2_1,...,\lambda_n^2)[/mm].
> daraus folgt [mm]\lambda_i=1[/mm] weil die lambdas nicht -1 sein
> können. also ist 1 der einzige eigenwert und [mm]S^{-1}AS=E \Rightarrow A=SES^{-1}=E[/mm].
Ich wuerd den vorletzten Schritt so schreiben: "aus [mm] $\lambda_i^2 [/mm] = 1$ folgt [mm] $\lambda_i \in \{ -1, +1 \}$, [/mm] und da die Matrix positiv definit ist muss [mm] $\lambda_i [/mm] = +1$ sein."
> ist das so richtig?
Ja.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 So 25.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Etwas kürzer:
Aus [mm] A^2=E [/mm] und A pos. definit, folgt, dass A nur den Eigenwert 1 hat. Da A sym. ist, ist A diag., also gibt es eine Basis des [mm] \IR^^n [/mm] aus Eigenvektoren von A. Somit ist
Kern(A-E) = [mm] \IR^n.
[/mm]
Daher ist A=E.
FRED
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