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| Aufgabe | Der Auslenkungswinkel [mm] \varphi [/mm] des mathematischen Pendels erfüllt
[mm] \varphi''=-g*sin \varphi, [/mm] mit der konstanten Erdbeschleunigung g.
a) zeigen Sie, dass [mm] \varphi [/mm] die Gleichung (1) genau dann löst, wenn [mm] (x,v):=(\varphi, \varphi') [/mm] das System
v'= -g sin(x)
x'=v
löst, und jede Lösung (x,v) von (2)gilt:
v v'+g (sinx) x'=0
b) zeigen sie, dass die Gleichung
vdv+g(sinx)dx=0
exakt ist. Geben Sie eine Stammfunktion an. |
Hallo Forum,
ich weiß bei dieser Aufgabe nicht, ob ich das so richtig mache und würde gerne eure Meinung dazu hören:
Erstmal zu a)
[mm] "\Rightarrow": \varphi''=-g [/mm] sin [mm] \varphi, [/mm]
[mm] (x,v)=(\varphi,\varphi')
[/mm]
[mm] \varphi=x, \varphi'=v
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \varphi'=x'=v
[/mm]
[mm] \varphi''=v'
[/mm]
Wenn ich das einsetze bekomme ich:
v'= -g sinx
x'=v
[mm] "\Leftarrow": [/mm]
v'= -g sinx
x'=v
[mm] (x,v)=(\varphi,\varphi')
[/mm]
[mm] x'=\varphi' \Rightarrow x=\varphi
[/mm]
[mm] v=\varphi' \Rightarrow v'=\varphi''
[/mm]
Einsetzen ergibt wieder:
[mm] \varphi''=-g sin\varphi
[/mm]
Kann man das so machen. Hab irgendwie das Gefühl ich mach gar nix, weil ich nur einsetze ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Für jede Lösung gilt:
v'=-g sinx
x'=v
v'+gsinx=0 |*x'
x'v'+gsinx x'=0 |v=x'
vv'+gsinx x'=0
b) Um zu zeigen dass die Dgl exakt ist muss gelten:
[mm] \bruch{\partial (v)}{\partial x}=\bruch{\partial (g sinx)}{\partial v}
[/mm]
Hmmm aber wenn ich beide entsprechend ableite bekomme ich 0=0 ?
(PS: wie kriege ich es hin meine Formeltexte alle kursiv stehen zu haben?)
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
Britta
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> Der Auslenkungswinkel [mm]\varphi[/mm] des mathematischen Pendels
> erfüllt
>
> [mm]\varphi''=-g*sin \varphi,[/mm] mit der konstanten
> Erdbeschleunigung g.
>
> a) zeigen Sie, dass [mm]\varphi[/mm] die Gleichung (1) genau dann
> löst, wenn [mm](x,v):=(\varphi, \varphi')[/mm] das System
>
> v'= -g sin(x)
> x'=v
>
> löst, und jede Lösung (x,v) von (2)gilt:
>
> v v'+g (sinx) x'=0
>
> b) zeigen sie, dass die Gleichung
>
> vdv+g(sinx)dx=0
>
> exakt ist. Geben Sie eine Stammfunktion an.
> Hallo Forum,
> ich weiß bei dieser Aufgabe nicht, ob ich das so richtig
> mache und würde gerne eure Meinung dazu hören:
> Erstmal zu a)
>
> [mm]"\Rightarrow": \varphi''=-g[/mm] sin [mm]\varphi,[/mm]
>
> [mm](x,v)=(\varphi,\varphi')[/mm]
>
> [mm]\varphi=x, \varphi'=v[/mm]
>
> Daraus folgt:
> [mm]\varphi'=x'=v[/mm]
>
> [mm]\varphi''=v'[/mm]
>
> Wenn ich das einsetze bekomme ich:
>
> v'= -g sinx
> x'=v
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
> v'= -g sinx
> x'=v
>
> [mm](x,v)=(\varphi,\varphi')[/mm]
>
> [mm]x'=\varphi' \Rightarrow x=\varphi[/mm]
> [mm]v=\varphi' \Rightarrow v'=\varphi''[/mm]
>
> Einsetzen ergibt wieder:
>
> [mm]\varphi''=-g sin\varphi[/mm]
>
> Kann man das so machen. Hab irgendwie das Gefühl ich mach
> gar nix, weil ich nur einsetze
>
> Für jede Lösung gilt:
>
> v'=-g sinx
> x'=v
>
> v'+gsinx=0 |*x'
>
> x'v'+gsinx x'=0 |v=x'
>
> vv'+gsinx x'=0
>
> b) Um zu zeigen dass die Dgl exakt ist muss gelten:
>
> [mm]\bruch{\partial (v)}{\partial x}=\bruch{\partial (g sinx)}{\partial v}[/mm]
>
> Hmmm aber wenn ich beide entsprechend ableite bekomme ich
> 0=0 ?
>
> (PS: wie kriege ich es hin meine Formeltexte alle kursiv
> stehen zu haben?)
>
>
> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
>
> Liebe Grüße
> Britta
Hallo Britta,
die erste Teilaufgabe besteht tatsächlich nur darin, gewisse
Umbezeichnungen nachzuvollziehen. Wichtig zu beachten
wäre noch, dass hinter dem Ganzen noch die Zeitvariable t
steckt, die zwar gar nicht erwähnt wird, obwohl die Ableitungen
als Ableitungen nach dieser Variablen zu verstehen sind.
Zu b) :
Wenn du ausgehend von der Integrabilitätsbedingung auf
die immer gültige Gleichung 0=0 kommst, so heißt dies
hier einfach, dass die vorliegende DGL jedenfalls "exakt"
ist. Übrigens sollte man noch beachten, dass man sich
bei der Schreibweise
$\ v*dv+g*sin(x)*dx\ =\ 0$
der DGL von der ursprünglichen Variablen t verabschiedet
hat. Man fasst jetzt etwa v als eine Funktion von x auf und
könnte in diesem Sinne die DGL so schreiben:
$\ [mm] \underbrace{g*sin(x)}_{P(x,v)}+\underbrace{v}_{Q(x,v)}*\frac{dv}{dx}\ [/mm] =\ 0$
Da die Integrabilitätsbedingung [mm] $\frac{\partial P}{\partial v}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\partial Q}{\partial x}$
[/mm]
hier offenbar trivialerweise erfüllt ist, muss es nun zu jeder
Lösung(skurve) der DGL eine Stammfunktion F(x,v) geben
mit
(1) [mm] $\frac{\partial F(x,v)}{\partial x}\ [/mm] =\ P(x,y)\ =\ g*sin(x)$
und
(2) [mm] $\frac{\partial F(x,v)}{\partial v}\ [/mm] =\ Q(x,v)\ =\ v$
Diese beiden partiellen DGL sind leicht zu integrieren.
Aus (1) kann man schließen, dass $F(x,v)\ =\ [mm] -g*cos(x)+C_1(v)$
[/mm]
mit einer in Bezug auf x konstanten Größe [mm] C_1, [/mm] welche aber
sehr wohl noch von v abhängig sein darf.
Ebenso folgt aus (2), dass $F(x,v)\ =\ [mm] \frac{1}{2}*v^2+C_2(x)$
[/mm]
Dies kann man kombinieren zu
$F(x,v)\ =\ [mm] -g*cos(x)+\frac{1}{2}*v^2+C$
[/mm]
wobei nun die neue Konstante C weder von x noch von v
abhängen darf.
LG Al-Chw.
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Hi Al-Chwarizmi,
Vielen Dank fürs Drüberschauen und deine sehr ausführliche Antwort! Echt eine super Hilfe :)
Liebe Grüße
Britta
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> Hi Al-Chwarizmi,
> Vielen Dank fürs Drüberschauen und deine sehr
> ausführliche Antwort! Echt eine super Hilfe :)
>
> Liebe Grüße
> Britta
Naja,
ich habe die Aufgabe praktisch gelöst, was nicht unbedingt
ganz im Sinne der "Philosophie" des Matheraums liegt, wo
wir normalerweise dazu tendieren, nur in Häppchen gewisse
"Hilfe zur Selbsthilfe" anzubieten.
Ich hoffe aber, dass ich damit dich und andere motivieren
konnte, bei ähnlichen Aufgaben nicht zu verzagen ...
LG Al-Chw.
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