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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Di 19.06.2007 | | Autor: | backett |
| Aufgabe | | Bestimme mittels eines Pendels die Gravitationskonstante g. Arbeiten Sie mit der Periodendauer T. |
huhu leute,
also wir haben in mathe die aufgabe bekommen uns im unterricht ein pendel zu bauen und damit die gravitationskonstante g auszurechnen.
1. ich weiß schon, dass g~9,81 m/s² ist.
2. ich weiss auch(dank wikipedia), dass es sich hierbei um harmonische schwingung oder so handelt, also man die Periodendauer verwenden soll.
Periodendauer ist laut wiki [mm] T=2*\pi*\wurzel{(Laenge des Fadens/g)}
[/mm]
dann ist es ja einfach, wenn man "cheaterhaft" dieses formel nimmt. aber vllt. kann mir ja einer ansatzweise erklären, wie man auf diese Formel kommt. ich bin nämlich am anfang über kräftezerlegung gegangen. also im "ruhezustand" hat man z.b. nur die Gravitationskraft(Fg=m*g), die nach unten gerichtet ist. bewegt sich nun das pendel und "friert" man die szene ein, so gibt es da schon mehrere kräft. einmal immernoch Fg, dann noch eine Kraft, die parallel zum faden läuft(zentrifugalkraft) und dann noch die, ich nenne sie mal, "rücktreibende" kraft, die in richtung des "Scheitels" des pendels zeigt. in wiki gibt es ein gutes bild dazu.
![[]](/images/popup.gif) http://www.hs-weingarten.de/home/studiengaenge/mb_b/de/labore_institute/maschinendynamik/praktikumsversuche/m_pendel/m_pendel.gif
hier wäre (k) die rücktreibende kraft, die dafür verantwortlich ist, dass das pendel zurückschnellt. ich weiss auch, dass man diese kraft mit
Rücktreibende Kraft= m * g * [mm] \sin{\alpha} [/mm] errechnet.
und umso größer die kraft, desto kürzer die periodendauer...
aber weiter kommt ich nicht. denn in wiki z.b. machen die irgendwie ableitungen um auf diese "Masterformel" :)
T= 2 * Pi * [mm] \wurzel{(Laenge des Fadens / g)}
[/mm]
könnte mir einer vllt. erklären wie man aus diesem experiment g errechnen kann, oder mir vllt. erklären wie ich auf diese formel komme ?
dangööö =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Di 19.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Es handelt sich bei der Herleitung in der Wikipedia um eine Lösung einer Differentialgleichung.
Man macht einmal die Kräfteanalyse:
[mm] $F_{rücktreibend}=-m\cdot [/mm] g [mm] \cdot \sin\phi$
[/mm]
Dann kann man die Strecke, die deine Masse auf dem Kreisbogen zurückgelegt hat durch $l [mm] \cdot \phi$ [/mm] beschreiben [mm] (\phi [/mm] wird hierbei IMMER im Bogenmaß angegeben).
Nun gilt die Beziehung zwischen l(t) und a(t): l''(t)=a(t), also die zweite Ableitung von l ist gleich die Beschleunigung, mit der die Masse "zurückbeschleunigt" wird.
Das setzt man dann ganz allgemein zu [mm] $F=m\cdot [/mm] a$ ein, und so hat man die rücktreibende Kraft durch zwei Kräfte, die absolut gleich sind, ausgedrückt.
Es gilt dann:
[mm] $m\cdot [/mm] l [mm] \cdot \phi'' [/mm] = [mm] -m\cdot [/mm] g [mm] \cdot sin\phi$
[/mm]
Das mit den zwei Ableitungsstrichen habe ich so geschrieben, weil ich nicht weiß, wie ich hier die Punkte gesecheit oben drauf setzen soll. Die Punkte in der Wikipedia heißen aber auch nichts anderes als: Ableitung zur Zeit t.
Nun muss man wissen, dass für kleine Winkel der Sinus des Winkel nahezu linear ansteigt, so dass man dann sagen kann [mm] sin\phi\approx\phi [/mm] für Winkel kleiner 10° (so wurde mir das beigebracht, einige sagen, dass der Winkel noch kleiner sein soll...aber kannste ja selbst nochmal ausprobieren). Ich habe hier den Winkel in Grad angegeben, aber den kannst du ja dann auch noch in Bogenmaß umrechnen.
Angenommen, das Pendel wird nur ein wenig ausgelenkt, dann steht dort:
$m [mm] \cdot [/mm] l [mm] \cdot [/mm] phi''=-m [mm] \cdot [/mm] g [mm] \cdot \phi$
[/mm]
Und jetzt kommt das, wo du wohl stocken wirst: Man braucht einen guten Ansatz, der diese Differentialgleichung löst.
Man sucht eine Funkiton [mm] \phi(t), [/mm] die zweimal abgeleitet sich selbst ergibt um das mal so grob zu formulieren. Dann gucken wir uns noch das Minus an, und mit ein wenig Erfahrung sieht man dann: Das ist etwas mit Sinus und Cosinus...
Jetzt kann man einen allgemeine Ansatz machen, und dort bekommt man dann heraus, dass [mm] \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} [/mm] ist.
Wenn man dann noch weiß, dass man [mm] \omega [/mm] als [mm] $2\pi [/mm] f$ ausdrücken kann, weist du, woher T kommt, da T=1/f.
Die Herleitung dieser Formel, bzw. das Lösen der Differentialgleichung ist in der 11 nicht deine Aufgabe. Ich habe es erst in der 13 im Physik LK "gelernt" und dort eigentlich auch nur, dass man solche Gleichungen aufstellen kann, und uns wurden die Lösungsansätze vorgegeben, so dass wir den Formalismus des Lösens einer DGL kennen.
Aber ich denke, dass du dir die Formel für die Schwingungsdauer einfach hernehmen kannst, und wenn du willst, kannst du das deiner Klasse ja erzählen, dass man diese Formel mit Hilfe einer Differentialgleichung herleiten kann.
Bis zu dem obigen Ansatz mit [mm] $\phi''=c \cdot \phi$ [/mm] solltest du kommen, vlt. kannst du dann ja deinen Lehrer fragen, ob er euch das mal einfach so zeigt, wie man so etwas löst.
Lieben Gruß,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 19.06.2007 | | Autor: | backett |
Hallo Kroni,
danke dir. Genau so sollte das auch in Wiki stehen :P
Da es sich hier offenbar um Stoff handelt, den wir in der 11 nit machen sollen(habe ich auch scho ma irgendwo gelesen :P ) überspringe ich die herleitung einfach. aber eine frage noch.
wieso schreibstu:
F rücktreibend = - m * g * [mm] \sin(\alpha) [/mm] ?
in meiner kräftezerlegung habe ich da kein minus stehen, oder liegt das vllt. irgendwie an der richtung des vektors ?
x)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Di 19.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Ja, wegen "Rücktreibend", also entgegen der Richtung der Auslenkung habe ich ein Minus davor geschrieben.
LG
Kroni
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![[]](http://www.hs-weingarten.de/home/studiengaenge/mb_b/de/labore_institute/maschinendynamik/praktikumsversuche/m_pendel/m_pendel.gif){kind=small}
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