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| Aufgabe | Reihen, Integration, Differentation in abstrakter Vektorraumsprache
a)
zeigen sie, dass polynome f(x) = [mm] \summe_{j=0}^{n} a_{j}x^{j} [/mm] mit reelen koeffizienten auf dem intervall x [mm] \in [/mm] (0,1) einen vekorraum v bilden. was ist seine dimension? verallgemeinern sie ihr resultat auf den raum v´ aller analytischen (d.h. als konvergente potenzreihe darstellbaren funkrionen f : (0,1) [mm] \to \IR,x \mapsto \summe_{j=0}^{\infty} a_{j}x^{j} [/mm] < [mm] \infty [/mm] .
b)
zeigen sie, dass der ausdruck <f,g> := [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] ein skalarprodukt auf v´ definiert, d.h. zeigen sie, bilinearität (linearität in beiden argumenten f,g ), symmetrie ( <f,g> = <g,f> ) und positivität ( [mm] \forall [/mm] f [mm] \not= [/mm] 0 : <f,f> > 0 ). |
ansatz für a:
f(x) = [mm] \summe_{j=o}^{n} a_{j}x^{j} [/mm] = [mm] a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+...+a_{n}x^{n} [/mm] = [mm] \vektor{a_{0} \\ a_{1} \\ . \\ . \\ a_{n}}
[/mm]
wie geht es dann weiter??? habe schon in verschiedenen büchern nachgeschlagen und finde einfach keine lösung...
zur b) hab ich noch gar keinen ansatz gefunden... wäre voll nett, wenn ich ein paar hinweise oder gar einen ansatz bekommen würde.
vielen dank schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 20.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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