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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Di 18.07.2006 | | Autor: | Felix87 |
Hallo Leute,
ich sitze gerade an meiner Mathe Gfs und soll einen Beweis vorlegen das die Ableitung F(x) = sin(x) korrekt ist. Habe aber keine Ahnung wie ich mich dem Problem nähern soll. Hoffe ihr könnt mir bei dem Problem weiter helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Di 18.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Felix,
was meinst Du mit "korrekt"? Ein von Dir vermutetes Ergebnis oder einen Lösungsweg hast Du nicht angegeben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Di 18.07.2006 | | Autor: | Felix87 |
Hallo,
also ich muss den Beweis liefern das sin(x) abgeleitet cos(x) ist also keine genaues Ergebnis sondern den Beweis.
mfg Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Di 18.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Felix,
eine Möglichkeit sehe ich im Aufschreiben der Sekantensteigung, also der klassischen Methode zur Heranführung an das Differenzieren einer Funktion. Man beginnt mit einer Folge von Werten [mm] x_n [/mm], die sich dem Funktionswert x annähern und benutzt dann die Additionstheoreme.
$$ [mm] \bruch{\sin(x_n) - \sin (x)}{x_n - x} [/mm] = [mm] \bruch{\sin(x_n - x + x) - \sin(x)}{x_n - x} [/mm] $$
$$ = [mm] \bruch{\sin(x_n -x)\cdot \cos x + \cos(x_n - x) \sin x - \sin x}{x_n -x}$$ [/mm]
$$ = [mm] \bruch{\sin(x_n - x)}{x_n - x} \cdot [/mm] cos x + [mm] \bruch{\cos(x_n - x) - 1}{x_n - x} \cdot \sin [/mm] x $$
Jetzt braucht man zum Weiterkommen zwei Grenzwertbetrachtungen:
$$ [mm] \lim_{x \to 0} \bruch{\sin x}{x} [/mm] = 1 $$ und
[mm] $$\lim_{x \to 0} \bruch{\cos x -1}{x} [/mm] = 0 . $$
Damit wird der Koeffizient des ersten Summanden zu 1, der des zweiten zu 0, und übrig bleibt der Cosinus als Ableitung des Sinus.
Eine weitere Möglichkeit ist das gliedweise Ableiten der Potenzreihendarstellung der Sinusfunktion, das Ergebnis führt dann auf die Potenzreihe, durch die der Cosinus beschrieben wird.
Mehr fällt mir jetzt aber wirklich nicht mehr dazu ein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Di 18.07.2006 | | Autor: | Felix87 |
Hallo,
Vielen Dank für deine Bemühungen. Genau das ist die Antwort auf meine Frage. ;)
mfg Felix
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