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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Do 31.10.2013 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum. Zeigen Sie
[mm] \mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j})=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j}), [/mm]
wobei [mm] A_{1},A_{2},... \in \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mu(A_{i} \cap A_{j})=0, [/mm] i [mm] \not= [/mm] j. |
Hallo liebe Forenmitglieder 
irgendwie finde ich die Aufgabenstellung ein wenig merkwürdig. Da wir bereits wissen, dass [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum ist, folgt hieraus automatisch die [mm] \sigma [/mm] - additivität, also [mm] \mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j})=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j}). [/mm] Dementsprechend ist mir grad ein wenig unklar, was ich hier dann großartig noch zeigen soll...
Kann mich vielleicht jemand kurz darauf stoßen?
LG,
Topologe
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Hiho,
> Da wir bereits wissen, dass [mm](X,\mathcal{A},\mu)[/mm] ein Maßraum ist, folgt hieraus automatisch die [mm]\sigma[/mm] - additivität
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also [mm]\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j})=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j}).[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Na nun überlegen wir noch einmal, was die Voraussetzungen für die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] sind und prüfen, ob diese hier erfüllt sind.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Do 31.10.2013 | | Autor: | Topologe |
Hi, danke für die Antwort
Hm, ok...
Also ein Inhalt [mm] \mu :\mathcal{R} \rightarrow \overline{\IR}_{+} [/mm] auf einem Mengenring [mm] \mathcal{R} \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] heißt [mm] \sigma-additiv, [/mm] falls für jede Folge von paarweise disjunkten Mengen [mm] A_{k} \in \mathcal{R}, [/mm] k [mm] \ge [/mm] 1, deren Vereinigung A:= [mm] \bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k} [/mm] ebenfalls in [mm] \mathcal{R} [/mm] liegt, gilt
[mm] \mu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{k}).
[/mm]
Unter einem Maß versteht man einen [mm] \sigma-additiven [/mm] Inhalt, der auf einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] definiert ist.
Also wir haben einen Maßraum [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] auf dem ein Maß [mm] \mu: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\IR}_{+} [/mm] definiert ist. Also gilt die [mm] \sigma [/mm] -Additivität mit [mm] \mu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{k}).
[/mm]
Nun ist fraglich ob gilt: [mm] \mu(A)=\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}).
[/mm]
Da [mm] \mu(A_{i} \cap A_{j})=0, [/mm] i [mm] \not= [/mm] j, [mm] \Rightarrow A_{i} \cap A_{j} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] , da gilt [mm] \mu(\emptyset)=0. [/mm] Also paarweise disjunkt.
Da [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] Maßraum [mm] \Rightarrow \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Also [mm] \bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j} \in \mathcal{A} \Rightarrow \mu(A)=\mu (\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j})=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j}).
[/mm]
Wäre das so ok?
LG
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Hiho,
> Da [mm]\mu(A_{i} \cap A_{j})=0,[/mm] i [mm]\not=[/mm] j, [mm]\Rightarrow A_{i} \cap A_{j}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] , da gilt [mm]\mu(\emptyset)=0.[/mm] Also paarweise disjunkt.
Deine Schlussfolgerung ist falsch. Sicherlich gilt [mm] $A=\emptyset \Rightarrow \mu(A) [/mm] = 0$, aber die Rückrichtung gilt doch nicht und die setzt du jetzt hier voraus!
Eine Nullmenge kann sogar die gleiche Mächtigkeit haben wie [mm] \IR [/mm] (bspw die ![[]](/images/popup.gif) Cantor Menge).
Und das ist auch der Clou der Aufgabe. Die Mengen sind eben NICHT paarweise disjunkt, sondern du sollst zeigen, dass es sogar ausreicht, wenn sie paarweise geschnitten Nullmengen sind.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 31.10.2013 | | Autor: | Topologe |
Achso, Nullmengen waren mir noch nicht bekannt^^ Wäre ja auch sonst zu einfach gewesen :-D
Habe mir erstmal 'ne Definition rausgesucht:
Eine Menge A [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] heißt Nullmenge, falls gilt:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists I_{1},I_{2},... \subseteq \IR^{n} [/mm] abgeschlossene Intervalle:
A [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty} I_{j} \wedge \sum_{j=1}^{\infty} |I_{j}| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Letztendlich wäre doch die Beweisidee, dass, wenn alle [mm] A_{i} [/mm] zusammengefasst werden, sich die Gleichung
[mm] \mu(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_{j})=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j}) [/mm] auf der rechten Seite um beliebig viele [mm] A_{i} \cap A_{j} [/mm] "zuviel" ausgefallen ist, aber da [mm] A_{i} \cap A_{j} [/mm] Nullmengen sind und sich diese Mengen in unendlich kleine Intervalle teilen lassen, wobei gilt [mm] \sum_{j=1}^{\infty} I_{j} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] , folgt, dass dies vernachlässigbar wäre?
LG
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Hiho,
> Achso, Nullmengen waren mir noch nicht bekannt^^ Wäre ja auch sonst zu einfach gewesen :-D
> Habe mir erstmal 'ne Definition rausgesucht:
Das ist nicht "eine" Definition, sondern ein Satz.
Die Definiton einer Nullmenge ist einfach: [mm] $\mu(A) [/mm] = 0$.
> Letztendlich wäre doch die Beweisidee
es gibt selten "die" Beweisidee. Hier denkst du aber falsch.
Zeige zuerst (bspw. mit vollständiger Induktion)
Für paarweise Nullmengen gilt:
[mm] $\mu(\bigcup_{j=1}^n A_j) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^n \mu(A_j)$
[/mm]
und nutze dann die Stetigkeit des Maßes.
Gruß,
Gono.
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Hiho,
[mm]\sum_{j=1}^{n+1}\mu(A_{j})=\sum_{j=1}^{n}\mu(A_{j})+\mu(A_{n+1}) \overbrace{=}^{I.V.} \mu(\bigcup_{j=1}^{n}A_{j})+\mu(A_{n+1})=\mu(\bigcup_{j=1}^{n}A_{j} \cup A_{n+1})[/mm] = [mm]\mu(\bigcup_{j=1}^{n+1} A_{j}).[/mm]
Warum gilt dein vorletztes Gleichheitszeichen?
Viel Begründet hast du da ja nicht....
> Nun seien [mm]A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq[/mm] ... eine
> aufsteigende Folge von Mengen aus [mm]\mathcal{A}[/mm] und
> [mm]A=\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j},[/mm] dann gilt
> [mm]\lim_{j\rightarrow\infty} \mu(A_{j})[/mm] = [mm]\mu(A).[/mm]
> Und da gilt [mm]\mu(A)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j}),[/mm] folgt die Behauptung.
Warum sollte das gelten? Du hast die Behauptung hingeschrieben und gesagt, sie stimmt.
Wenn nur jeder Beweis so einfach wäre.
Wo hast du da jetzt die Stetigkeit des Maßes für benutzt?
Fang doch mal so an:
[mm] $\mu(\bigcup_{k=1}^\infty A_k) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm]
Und wenn am Ende [mm] $\summe_{k=1}^\infty \mu(A_k)$ [/mm] steht und du jedes Gleichheitszeichen begründen kannst, hast du es geschafft.
Gruß,
Gono.
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