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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mo 28.05.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Sei [mm] \lambda [/mm] das Lebesgue-Maß auf ([0; 1]; [mm] \mathcal{B}). [/mm] Konstruieren Sie ein Maß [mm] \mu [/mm] auf ([0; 1]; [mm] \mathcal{B}) [/mm] mit
[mm] \mu \perp \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] (I) > 0 für jedes nicht-leere Intervall I [mm] \subset [/mm] [0; 1]. |
Also ich haette hier das Dirac Maß genommen und damit gezeigt,
dass [mm] \mu \perp \lambda [/mm] , wobei [mm] \mu [/mm] das Diracmaß ist.
Nur bin ich mir nicht ganz sicher ob die zweite Bedingung
[mm] \mu [/mm] (I) > 0 für jedes nicht-leere Intervall I [mm] \subset [/mm] [0; 1].
auch erfuellt ist. Ich denke schon wollte nur eine Rueckmeldung erhalten.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:23 Di 29.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo cutter,
> Sei [mm]\lambda[/mm] das Lebesgue-Maß auf ([0; 1]; [mm]\mathcal{B}).[/mm]
> Konstruieren Sie ein Maß [mm]\mu[/mm] auf ([0; 1]; [mm]\mathcal{B})[/mm] mit
> [mm]\mu \perp \lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] (I) > 0 für jedes nicht-leere
> Intervall I [mm]\subset[/mm] [0; 1].
> Also ich haette hier das Dirac Maß genommen und damit
> gezeigt,
> dass [mm]\mu \perp \lambda[/mm] , wobei [mm]\mu[/mm] das Diracmaß ist.
> Nur bin ich mir nicht ganz sicher ob die zweite Bedingung
>
> [mm]\mu[/mm] (I) > 0 für jedes nicht-leere Intervall I [mm]\subset[/mm] [0;
> 1].
>
> auch erfuellt ist. Ich denke schon wollte nur eine
> Rueckmeldung erhalten.
Es stimmt, dass das Lebesgue-Maß und jedes Dirac-Maß zueinander singulär sind. Aber das Dirac-Maß erfüllt die zusätzliche Bedingung nicht.
Das Dirac-Maß wird doch zu einem Punkt gebildet, hier zu einem [mm] $z\in[0;1]$ [/mm] und ist so definiert:
[mm] $\delta_z(A)=\begin{cases} 1, \mbox{ falls } z\in A \\ 0, \mbox{ sonst }\end{cases}$
[/mm]
Für alle [mm] $z\in[0;1]$ [/mm] gibt es aber [mm] $0\le a
[mm] $\delta_z([a,b])=0$
[/mm]
Ein alternatives Maß kann ich Dir aber z.Zt. auch nicht anbieten.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo cutter,
wie Marc ja schon bemerkt hat erfüllt das Dirac-Maß die zweite Bedingung nicht. Aus der Geschichte kommst du mit folgendem Trick raus: Sei [mm] $\{q_n\colon n\in\IN\}=\IQ\cap[0;1]$ [/mm] eine "Abzählung" der rationalen Zahlen in $[0;1]$. Definiere die nun dein Maß durch [mm] $\mu(A):=\sum_{n\colon q_n\in A} \frac 1{n^2}$. [/mm] Genau genommen ist [mm] $\mu$ [/mm] also die Summe von abzählbar vielen Dirac-Maßen mit Gewicht [mm] $\frac 1{n^2}$: $\mu=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}*\delta_{q_n}$. $\mu$ [/mm] ist ein endliches Maß, da [mm] $\mu([0;1])=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}<\infty$.
[/mm]
[mm] $\mu\bot\lambda$, [/mm] da [mm] $\mu$ [/mm] nur auf [mm] $\IQ$ [/mm] Masse hat, was eine Lebesgue-Nullmenge ist. Aber in jedem Intervall [mm] $I\subseteq[0;1]$ [/mm] liegt eine rationale Zahl, und somit ist [mm] $\mu(I)>0$.
[/mm]
Ist dir das Beispiel klar?
Gruß, banachella
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Das kannst du auch so machen wie du geschrieben hast. Das Lebesguemass auf [mm] $\IR$ [/mm] ist ja auch nicht endlich. Du kannst uebrigens als Traegermenge auch jede Cantormenge $C$ der Dimension [mm] $0\leq [/mm] h<1$ hinzufuegen. Dann ist das Mass formal [mm] $\sum_{i\in I}d_{x_i}$ [/mm] mit einer ueberabzaehlbaren Indexmenge $I$. Es gibt viele Dinge, die man sich ausdenken kann
LG Kornfeld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Di 29.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi..
danke an euch alle.Bin dein Maß gerade am nachvollziehen.Falls ich noch fragen habe komme ich auf dich zurueck.
Besten Dank vom cutter :)
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