Massenträgheitsmoment < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | | Auf ein 6 m langes Rohr ist ein warmgewalzter U-Stahl nach DIN 1026 geschweißt. Wie groß ist das Massenträgheitsmoment des geschweißten Bauteils bezüglich der Längsachse des Rohres? Um wie viel % erhöht sich das MTM gegenüber dem Rohr ohne aufgeschweißtem Profil |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gegeben:
[mm] $D_a [/mm] = 0,05m$
[mm] $D_i=0,04m$
[/mm]
[mm] $\rho=7,85 \bruch{t}{m^3}$
[/mm]
$l=6m$
Längsachse ist x-Achse
U-Profil DIN 1026 40x20
Gesucht:
[mm] $J_{xx} [/mm] , [mm] J_{xxneu} [/mm] , [mm] \delta_J$
[/mm]
Rechnung:
[mm] $J_{xx} [/mm] = [mm] \bruch{m*(R_a^2-R_i^2)}{2}$
[/mm]
mit
[mm] $m=\bruch{\pi*(D_a^2-D_i^2)*\rho*l}{4} [/mm] = 33,29 kg$
[mm] $J_{xx}= [/mm] 1,87 * [mm] 10^{-3} kg*m^2$
[/mm]
Jetzt stand ich vor der Herausforderung, herauszufinden, welches MTM das U-Profil bzgl. seines Ursprungs hat ... und habe nichts entsprechendes Herausgefunden.
Dann habe ich mir gedacht, dass das MTM des U-Profils bzgl. der Drehachse ja eigentlich nur die Masse multipliziert mit dem Schwerpunktabstand zum Quadrat ist. Oder habe ich da falsch gedacht?
Zur Massenberechnung habe ich aus der Tabelle einfach den Wert für kg/m mal der Länge genommen.
[mm] $m_{UP}=17,22kg$
[/mm]
Der Abstand [mm] $\bar [/mm] z$ des Schwerpunktes des U-Profils zur y-Achse habe ich bestimmt über:
[mm] $\bar [/mm] z = 38mm - [mm] e_{y_{UP}} [/mm] = 38 mm - 6,7 mm = 31,1 mm$
Nun habe ich [mm] $J_{xxneu}$ [/mm] bestimmt:
[mm] $J_{xxneu}=J_{xx}+m_{UP}*{\bar z}^2 [/mm] = 18,74 * [mm] 10^{-3} [/mm] kg * [mm] m^2$
[/mm]
Und somit die prozentuale Steigerung
[mm] $\delta_J [/mm] = [mm] \bruch{J_{xxneu}}{J_{xx}}=10$
[/mm]
Also eine Steigerung um 1000%
Kann ich das so rechnen oder muss ich mir irgendwie das MTM des U-Profils anders herleiten?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Fr 31.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch zuerst das Trägheitsmoment des U bezüglich einer Achse parallel zu x also zu dem Punkt wo dein z das U durchstößt haben. dazu kann man das U in das Oberteil und die 2 Arme zerlegen, und die Trägheitsmomente der 2 Teile addieren, oder man findet das für U in einer Tabelle.
Der Abstand des S hilft dir nichts, denn wenn du auf der Unterseite des Rohrs nochmal dasselbe U anbrächtest, wäre ja S auf der Achse, daran siehst du deinen Fehler
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Morph007 |
Das MTM des U soll ich aber ja nicht überschlägig über die Zerlegung in Teilkörper bestimmen, sondern soll es der Tabelle entnehmen. Allerdings finde ich in keiner Tabelle eine Angabe bezüglich des Massenträgheitsmomentes, sondern immer nur Widerstandsmomente und Flächenträgheitsmomente.
Habe es jetzt einfach mal so versucht wie Du meintest. Habe zunächst das U-Profil gedanklich in 3 Teile geteilt.
Dann habe ich die MTM der 3 Teile zu ihren jeweiligen Schwerpunkten bestimmt. Dann habe ich von den 3 lokalen Schwerpunkte auf den globalen Schwerpunkt des U-Profils gesteinert.
Dadurch habe ich ja das MTM des U-Profils bezüglich seines Schwerpunktes.
Von dort habe ich dann auf den Mittelpunkt/Drehpunkt des Rohres gesteinert und das MTM des Rohres dazu addiert.
Somit habe ich nur noch eine Steigerung um 242%.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Fr 31.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Vergleiche mal die Definition des polaren Flächenträgheitsmoments und des Massenträgheitsmoments. Dann geh davon aus, dass die Dichte in dieser Aufgabe nicht vom Ort abhängt. Sie kann also vor das Integral gezogen werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Okay das polare FTM bilde ich über das Integral über die Fläche von [mm] $r^2$ [/mm] und $dA$ und das MTM über das Volumen mit [mm] $r^2*\rho$ [/mm] und $dV$. Wenn ich nun [mm] \rho [/mm] vor das Integral stelle so ist mein MTM ja [mm] Abstand^2 [/mm] mal Volumen mal Dichte, also die Einheit [mm] m^2*kg.
[/mm]
Richtig?
Sprich Volumen vom 6m U-Profil mal Abstand Schwerpunkt vom U zum Drehpunkt zum Quadrat mal Dichte ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mo 03.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein du sollst das dir bekannte FTM in ein MZM umwandeln, dann kommt noch Steiner dazu.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Habe ich das eben nicht getan?
das FTM ist
[mm] $\integral{r^2*dA}$
[/mm]
erweitert um eine (konstante) Dichte und eine Tiefe des Querschnitts
[mm] $\rho*l*\integral{r^2*dA}$
[/mm]
r entspricht doch nun dem Abstand des Schwerpunkts meiner Teilfläche vom Schwerpunkt des U-Profils.
Wenn ich das nun ausrechne erhalte ich doch mein [mm] $J_{UP}$ [/mm] oder nicht?
Das muss ich doch dann nur noch auf den Drehpunkt steinern mit
[mm] $J_{XX_{UP}} [/mm] = [mm] J_{UP} [/mm] + [mm] m_{UP} [/mm] * [mm] r^2$ [/mm] wobei hier nun r der Abstand vom Schwerpunkt UP zum Drehpunkt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 03.02.2014 | | Autor: | chrisno |
Wahrscheinlich meinst mit
> Wenn ich das nun ausrechne erhalte ich doch mein [mm]J_{UP}[/mm]
> oder nicht?
das Richtige. Doch so wie Du es formuliert hast, ist
> [mm]\rho*l*\integral{r^2*dA}[/mm]
immer noch das Massenträgheitsmoment.
Schreib besser mal die Formnel für das Massenträgheitsmoment hin und wie Du daraus das Fläachenträgheitsmoment erhältst.
> ...
> Das muss ich doch dann nur noch auf den Drehpunkt steinern
> mit
>
> [mm]J_{XX_{UP}} = J_{UP} + m_{UP} * r^2[/mm] wobei hier nun r der
> Abstand vom Schwerpunkt UP zum Drehpunkt ist.
ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Di 04.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Okay, ich versuche nochmal das FTM in das MTM zu überführen.
Also das FTM ist:
[mm] $\integral_{A}^{}{r^2*dA}$
[/mm]
für das MTM muss ich ja nun noch die konstante Dichte und Profiltiefe berücksichtigen.
Sprich:
[mm] $\rho*\integral_{l}^{}{\integral_{A}^{}{r^2*dA}dl} [/mm] = [mm] \rho [/mm] * [mm] \integral_{V}^{}{r^2*dV}$
[/mm]
Da die Dichte konstant ist kann ich sie ja auch vor das Integral ziehen.
Meinst Du so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 04.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, die Länge L kannst du auch noch rausziehen und er bleibt dA im Integral.
gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 04.02.2014 | | Autor: | chrisno |
Am Ende muss da stehen FTM = ....
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