Masse und Schwerpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 09.01.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Masse und Schwerpunkt (alle drei Koordinaten!) der homogenen ebenen
Platte mit Grundfläche $G = [mm] \{(x; y; 0) : |y|\le\pi ; sin y \lex\le 3 + cos 2y\}$ [/mm] und Dicke (bzw. Höhe) d.
Zeichnung zur Plausibilitätskontrolle! |
Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht genau wie man anfängt. Es kommt mir auch komisch vor, dass nach der Masse gefragt ist, aber keine Dichtefunktion gegeben ist.
Ich würde einfach alles integrieren mit dem Gebietsintegral und als Funktion die 1 nehmen. Und dann das y als äußeres und x als inneres Integral ansetzen, weil y konstant ist und x von einer Variablen (y) abhängt. Aber ist das wirklich sinnvoll so?
[mm] $\integral_{G}^{}{f(x,y,z) d(x,y,z)}$ [/mm]
mit $f(x,y,z)=1$
Verschafft mir die z-Koordinate, die 0 ist, irgendeinen Vorteil, oder eine Besonderheit die man beachten muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Bestimmen Sie Masse und Schwerpunkt (alle drei
> Koordinaten!) der homogenen ebenen
> Platte mit Grundfläche [mm]G = \{(x; y; 0) : |y|\le\pi ; sin y \lex\le 3 + cos 2y\}[/mm]
> und Dicke (bzw. Höhe) d.
Überprüfe bitte nochmal die Definition der Grundfläche, zum einen ist $x$ nicht eingeschränkt, zum anderen ist die Gleichung $sin(y) [mm] \le [/mm] 3+cos(2y)$ für jedes $y$ erfüllt und daher keine Einschränkung.
Dass die $z$-Koordinate gleich 0 ist zeigt Dir nur, dass Du zumindest in dieser Richtung nicht auf irgendwas achten musst. Du musst quasi nur die Oberfläche der Platte ausrechnen und mit $d$ multiplizieren, um an das Volumen zu kommen.
Gruß,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 So 10.01.2010 | | Autor: | steem |
Mir ist ein Fehler mit dem Formeleditor untergekommen. Das x steht zwar in dem Formelcode, wurde aber nicht dargestellt.
Die korrekte Aufgabe ist so:
$ G = [mm] \{(x; y; 0) : |y|\le\pi ; sin y \le{x}\le 3 + cos 2y\} [/mm] $
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> Mir ist ein Fehler mit dem Formeleditor untergekommen. Das
> x steht zwar in dem Formelcode, wurde aber nicht
> dargestellt.
>
> Die korrekte Aufgabe ist so:
>
> [mm]G = \{(x; y; 0) : |y|\le\pi ; sin y \le{x}\le 3 + cos 2y\}[/mm]
Ein Zwischenraum zwischen dem [mm] "\backslash{le}" [/mm] und dem "$\ x$" im Quelltext hätte auch genügt. Da es keinen TeX-Befehl namens [mm] "\backslash{lex}" [/mm] gibt, wurde dies einfach ignoriert, also vermeintlich das [mm] "$\le$" [/mm] und das "$\ x$", die so aber gar nicht da standen, weggelassen.
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> Bestimmen Sie Masse und Schwerpunkt (alle drei
> Koordinaten!) der homogenen ebenen
> Platte mit Grundfläche [mm]G = \{(x; y; 0) : |y|\le\pi ; sin y \lex\le 3 + cos 2y\}[/mm]
> und Dicke (bzw. Höhe) d.
> Zeichnung zur Plausibilitätskontrolle!
> Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht genau wie man anfängt.
> Es kommt mir auch komisch vor, dass nach der Masse gefragt
> ist, aber keine Dichtefunktion gegeben ist.
Die Angabe der "Homogenität" besagt aber doch
wohl, dass die Dichte konstant ist innerhalb der
ganzen Platte [mm] P=G\times[0;d] [/mm] .
> Ich würde einfach alles integrieren mit dem
> Gebietsintegral und als Funktion die 1 nehmen. Und dann das
> y als äußeres und x als inneres Integral ansetzen, weil y
> konstant ist und x von einer Variablen (y) abhängt. Aber
> ist das wirklich sinnvoll so?
>
> [mm]\integral_{G}^{}{f(x,y,z) d(x,y,z)}[/mm]
> mit [mm]f(x,y,z)=1[/mm]
>
> Verschafft mir die z-Koordinate, die 0 ist, irgendeinen
> Vorteil, oder eine Besonderheit die man beachten muss?
z ist am Grund der Platte P, also im Gebiet G, gleich null
und in der Deckfläche von P gleich d. Wenn du willst,
kannst du also wirklich mit einem Dreifachintegral
rechnen, für die Masse also:
$m\ =\ [mm] \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}\ \integral_{x=...}^{...}\ \mathbf{\rho}\ [/mm] \ [mm] dx\,dy\,dz$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Sa 09.01.2010 | | Autor: | steem |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielen Dank für die Antwort, das hat mir ein wenig weiter geholfen.
Nun hänge ich aber wieder fest:(
Nachdem ich folgendermaßen integriert habe:
$ m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}\ \integral_{x=sin(y)}^{3+cos(2*y)}\ \mathbf{\rho}\ \ dx\,dy\,dz $
mit {\rho}(x,y,z)=1
nach x integriert:
$ m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[x]_{sin(y)}^{3+cos(2*y)} \,dy\,dz $
danach die Grenzen für x eingesetzt und voneinander abgezogen (wie beim normalen Integrieren):
$ m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[3+cos(2*y)-sin(y)}] \,dy\,dz $
Wenn ich jetzt nach y integrieren möchte gibt das doch ein unglaubliches Chaos. Ich würde das mit Substitution machen, wegen dem cos(2y). Dann wäre
$t=2*y$
$dt=2 dy$
$dy=1/2*dt$
Wenn ich das jetzt einsetze hätte ich:
$ m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[3+cos(t)-sin(t ?)}] \,1/2dt\,dz $
Was passiert aber mit den Grenzen? Und was passiert genau mit $sin(y)$? Wenn $t=2*y$ ist, kann ja $y$ nicht auch nur zu $t $ werden...oder ist das dann $sin(t/2)$, wenn ja wäre das ja kein Gewinn, oder doch?
Ist das soweit überhaupt richtig, oder habe ich schon vorher einen Fehler gemacht?
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> Nachdem ich folgendermaßen integriert habe:
>
> [mm]m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}\ \integral_{x=sin(y)}^{3+cos(2*y)}\ \mathbf{\rho}\ \ dx\,dy\,dz[/mm]
>
> mit [mm]{\rho}(x,y,z)=1[/mm]
Lass doch die (zwar nicht konkret gegebene, jedoch
konstante !) Dichte [mm] \rho [/mm] einfach als Faktor stehen !
Erst wenn die Dichte als Faktor da steht, ist es auch
gerechtfertigt, vor dem Integral zu schreiben:
"m (Masse) = ......"
> nach x integriert:
>
> [mm]m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[x]_{sin(y)}^{3+cos(2*y)} \,dy\,dz[/mm]
>
> danach die Grenzen für x eingesetzt und voneinander
> abgezogen (wie beim normalen Integrieren):
>
> [mm]m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[3+cos(2*y)-sin(y)}] \,dy\,dz[/mm]
>
> Wenn ich jetzt nach y integrieren möchte gibt das doch ein
> unglaubliches Chaos.
Na, alles halb so wild - oder weniger ...
> Ich würde das mit Substitution
> machen, wegen dem cos(2y). Dann wäre
> [mm]t=2*y[/mm]
> [mm]dt=2 dy[/mm]
> [mm]dy=1/2*dt[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt einsetze hätte ich:
> [mm]m\ =\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[3+cos(t)-sin(t ?)}] \,1/2dt\,dz[/mm]
>
> Was passiert aber mit den Grenzen? Und was passiert genau
> mit [mm]sin(y)[/mm]? Wenn [mm]t=2*y[/mm] ist, kann ja [mm]y[/mm] nicht auch nur zu [mm]t[/mm]
> werden...oder ist das dann [mm]sin(t/2)[/mm], wenn ja wäre das ja
> kein Gewinn, oder doch?
> Ist das soweit überhaupt richtig, oder habe ich schon
> vorher einen Fehler gemacht?
Für diese simple Form der Substitution lohnt es sich
niemals, das gesamte Integral mit einer neuen
Variablen t (statt y) zu schreiben.
Der Integrand $\ [mm] 3+cos\,(2*y)-sin\,(y)$ [/mm]
hat doch die
Stammfunktion $\ [mm] 3\,y+\frac{1}{2}\,sin\,(2*y)+cos(y)$
[/mm]
(die Sache mit der Substitution kann man als kleine
Nebenrechnung erledigen)
Übrigens: hast du den (kleinen) Fehler in der Aufgaben-
stellung gefunden, auf welchen AT-Colt aufmerksam
gemacht hat ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 10.01.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Korrigierte Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie Masse und Schwerpunkt (alle drei Koordinaten!) der homogenen ebenen
Platte mit Grundfläche $ G = [mm] \{(x; y; 0) : |y|\le\pi ; sin (y) \le{x}\le 3 + cos (2y)\} [/mm] $ und Dicke (bzw. Höhe) d.
Zeichnung zur Plausibilitätskontrolle! |
Woher weiß ich denn, ab wann sich eine Substition lohnt oder nicht? Ich dachte, die ist immer nötig, sobald mehr als nur die Variable hinter dem sin, cos usw. steht.
Ist es überhaupt erlaubt, nur einen Teil eines Ausdrucks zu substituieren? Weil die anderen Ausdrücke hängen ja von der gleichen Variablen ab, und wenn man dann nur eine ändert, stimmt ja die Äquivalenz nicht mehr.
Wenn ich die Dichte vor das Integral schreibe, bleibt doch nichts mehr übrig was integriert werden kann? Oder bleibt da dann einfach eine 1 stehen und war schon richtig, wie ich es gemacht habe?
Der Fehler in der Aufgabenstellung war meine Schuld, ich habe im Formeleditor vergessen das x mit geschweiften Klammern einzuklammern ;)
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> Woher weiß ich denn, ab wann sich eine Substition lohnt
> oder nicht? Ich dachte, die ist immer nötig, sobald mehr
> als nur die Variable hinter dem sin, cos usw. steht.
> Ist es überhaupt erlaubt, nur einen Teil eines Ausdrucks
> zu substituieren? Weil die anderen Ausdrücke hängen ja
> von der gleichen Variablen ab, und wenn man dann nur eine
> ändert, stimmt ja die Äquivalenz nicht mehr.
Im vorliegenden Fall ging es ja nur darum, [mm] cos(2\,y) [/mm] zu
integrieren. Das ergibt (wieder mit y und nicht mit der
Hilfsvariablen t geschrieben !) [mm] \frac{1}{2}\,sin(2\,y) [/mm] und darf dann
natürlich so eingesetzt werden.
> Wenn ich die Dichte vor das Integral schreibe, bleibt doch
> nichts mehr übrig was integriert werden kann? Oder bleibt
> da dann einfach eine 1 stehen und war schon richtig, wie
> ich es gemacht habe?
Mit dem Integranden 1 erhältst du durch [mm] $\integral \integral \integral dx\,dy\,dz$ [/mm]
das Volumen. Um die Masse zu erhalten, musst du mit [mm] \rho [/mm]
multiplizieren. Wegen der Homogenität darf dieser Faktor [mm] \rho [/mm]
natürlich auch vor dem Integral stehen - aber da müsste
er dann auch sein.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:07 Mo 11.01.2010 | | Autor: | steem |
Danke für die Hinweise ;)
Bei mir ist es inzwischen so geworden:
$ m\ [mm] =\rho*\ \integral_{z=0}^{d}[\ 3\,y+\frac{1}{2}\,sin\,(2\cdot{}y)+cos(y)]_{-\pi}^{\pi} \,dz=$
[/mm]
[mm] $=\rho* [/mm] \ [mm] \integral_{z=0}^{d}[3\pi+1/2sin(2\pi)+cos(\pi)-((-3\pi+1/2sin(-2\pi)+cos(-\pi))]dz=$
[/mm]
[mm] $=\rho*\ \integral_{z=0}^{d}6{\pi}dz=$
[/mm]
$= [mm] \rho*[6{\pi}{z}]_{0}^{d}= [/mm] $
[mm] $={\rho}6{\pi}d$
[/mm]
Ist das soweit richtig? Ich war mir nicht sicher ob es erlaub ist z.B. [mm] cos(\pi) [/mm] mit [mm] -cos(-\pi) [/mm] zusammenzufassen. Aber da bei sin und cos der gleiche Funktionswert im negativen wie positiven rauskommt, dachte ich dürfte das kein Problem sein.
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> Danke für die Hinweise ;)
>
> Bei mir ist es inzwischen so geworden:
>
> [mm]m\ =\rho*\ \integral_{z=0}^{d}[\ 3\,y+\frac{1}{2}\,sin\,(2\cdot{}y)+cos(y)]_{-\pi}^{\pi} \,dz=[/mm]
>
> [mm]=\rho* \ \integral_{z=0}^{d}[3\pi+1/2sin(2\pi)+cos(\pi)-((-3\pi+1/2sin(-2\pi)+cos(-\pi))]dz=[/mm]
>
> [mm]=\rho*\ \integral_{z=0}^{d}6{\pi}dz=[/mm]
> [mm]= \rho*[6{\pi}{z}]_{0}^{d}=[/mm]
>
> [mm]={\rho}6{\pi}d[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Ich war mir nicht sicher ob es
> erlaub ist z.B. [mm]cos(\pi)[/mm] mit [mm]-cos(-\pi)[/mm] zusammenzufassen.
> Aber da bei sin und cos der gleiche Funktionswert im
> negativen wie positiven rauskommt, dachte ich dürfte das
> kein Problem sein.
Das Ergebnis stimmt.
[mm] cos(\pi) [/mm] und [mm] cos(-\pi) [/mm] solltest du dir anhand des Einheits-
kreises gut vorstellen können: ob man vom Punkt (1/0)
ausgehend um [mm] \pi=180° [/mm] oder um [mm] \pi=-180° [/mm] auf dem Einheits-
kreis wandert, man landet beim selben Punkt (-1/0).
Also ist [mm] cos(\pi)=cos(-\pi)=-1 [/mm] .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 11.01.2010 | | Autor: | steem |
Das ist ja schonmal ganz erfolgreich, wenn das richtig ist :)
Nun habe ich aber neues Problem mit dem Schwerpunkt. Und zwar weiß ich nicht, wie ich integrieren soll.
Also als Schwerpunktformel habe ich folgende benutzt:
$ [mm] x_s\ =\bruch{d}{m}\ \integral_{G}^{ }x*\rho(x,y,z)d(x,y,z) [/mm] $
mit meinen Werten sieht es dann so aus:
$ [mm] x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}\ \integral_{x=siny}^{3+cos2y}xd(x,y,z) [/mm] $
dann Stammfunktion von x:
$ [mm] x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[1/2{x^2}]_{siny}^{3+cos2y}d(x,y,z) [/mm] $
Jetzt fängt es an wo ich nicht meh weiter weiß. Wenn ich jetzt die Grenzen für x einsetze und dann den nächsten Schritt integrieren möchte müsste ich [mm] sin^2 [/mm] integrieren. Ich habe zwar etwas raus, aber bin mir absolut unsicher, ob das stimmt.
$ [mm] x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[1/2({3+cos2y})^2-1/2{({siny})^2}]{d(y,z)} [/mm] $
Meine Stammfunktion sieht nach längerem hin und her folgendermaßen aus:
$ [mm] x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \integral_{z=0}^{d}[3/2y+1/4sin4y]_{-\pi}^{\pi}{d(z)} [/mm] $
Das kommt mir irgendwie sehr komisch vor. Wenn es falsch ist, weiß jemand wo der Fehler ist? Wenn nötig kann ich auch noch meine ganzen Zwischenschritte aufschreiben.
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> Das ist ja schonmal ganz erfolgreich, wenn das richtig ist
> :)
>
> Nun habe ich aber neues Problem mit dem Schwerpunkt. Und
> zwar weiß ich nicht, wie ich integrieren soll.
>
> Also als Schwerpunktformel habe ich folgende benutzt:
>
> [mm]x_s\ =\bruch{d}{m}\ \integral_{G}^{ }x*\rho(x,y,z)d(x,y,z)[/mm]
Da du den Faktor d schon berücksichtigt hast und nur
über das ebene Gebiet G integrierst, hast du nur noch
ein Doppelintegral mit [mm] dx\,dy [/mm] , aber ohne dz .....
> mit meinen Werten sieht es dann so aus:
>
> [mm]x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \red{\integral_{z=0}^{d}}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}\ \integral_{x=siny}^{3+cos2y}xd(x,y,z)[/mm]
..... das Integral über z muss also weg !
> dann Stammfunktion von x:
>
> [mm]x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[\frac{1}{2}\,{x^2}]_{siny}^{3+cos2y}d(x,y,z)[/mm]
>
> Jetzt fängt es an wo ich nicht mehr weiter weiß. Wenn ich
> jetzt die Grenzen für x einsetze und dann den nächsten
> Schritt integrieren möchte müsste ich [mm]sin^2[/mm] integrieren.
> Ich habe zwar etwas raus, aber bin mir absolut unsicher, ob
> das stimmt.
>
> [mm]x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \integral_{z=0}^{d}\ \integral_{y=-\pi}^{\pi}[\frac{1}{2}\,({3+cos2y})^2-\frac{1}{2}\,{({siny})^2}]{d(y,z)}[/mm]
Den Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] würde ich vor das Integral ziehen !
> Meine Stammfunktion sieht nach längerem hin und her
> folgendermaßen aus:
>
> [mm]x_s\ =\bruch{d*\rho}{m}\ \integral_{z=0}^{d}[\frac{3}{2}\,y+\frac{1}{4}\,sin4y]_{-\pi}^{\pi}{d(z)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Das kommt mir irgendwie sehr komisch vor. Wenn es falsch
> ist, weiß jemand wo der Fehler ist? Wenn nötig kann ich
> auch noch meine ganzen Zwischenschritte aufschreiben.
Den genauen Fehler kann ich nicht eruieren. Man kann aber
den Ausdruck [mm] (3+cos(2\,y)^2-(sin(y))^2 [/mm] umformen zu:
[mm] $\frac{1}{2}\,\left[\,cos(4\,y)+13*cos(2\,y)+18\right\,]$
[/mm]
Das hat mir mein Voyage200 mitgeteilt. Damit wird die
Integration einfach.
LG Al-Chw.
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> > Nun habe ich aber neues Problem mit dem Schwerpunkt. Und
> > zwar weiß ich nicht, wie ich integrieren soll.
> >
> > Also als Schwerpunktformel habe ich folgende benutzt:
> >
> > [mm]x_s\ =\bruch{d}{m}\ \integral_{G}^{ }x*\rho(x,y,z)d(x,y,z)[/mm]
Hallo steem,
ist dir bewusst, dass der Schwerpunkt auch noch
eine y-Koordinate hat, die man durch ein weiteres
Integral berechnen muss ?
(und dann noch die zeichnerische Überprüfung, um
abzuklären, ob die Ergebnisse plausibel sind)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mi 13.01.2010 | | Autor: | steem |
Hallo Al-Chw.
Ja das ist mir bewusst :) Ich habe nun auch die richtigen Ergebnisse raus, denke ich.
Für [mm] x_s=3/2
[/mm]
und [mm] y_s=-1/3
[/mm]
[mm] z_s=1/2 [/mm] wegen Symmetrie.
Ich habe das alles auch gezeichnet, und da erscheinen mir die Ergebnisse einigermaßen sinnvoll ;)
Vielen Dank für deine ausführlichen Hilfen!
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> Hallo Al-Chw.
>
> Ja das ist mir bewusst :) Ich habe nun auch die richtigen
> Ergebnisse raus, denke ich.
>
> Für [mm]x_s=3/2[/mm]
> und [mm]y_s=-1/3[/mm]
> [mm]z_s=1/2[/mm] wegen Symmetrie.
>
> Ich habe das alles auch gezeichnet, und da erscheinen mir
> die Ergebnisse einigermaßen sinnvoll ;)
O.K. , auch nach meiner zeichnung erscheint dies plausibel.
> Vielen Dank für deine ausführlichen Hilfen!
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 15.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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