Martingaleigenschaft < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 08.04.2013 | | Autor: | f12 |
Hallo
Folgendes Problem stellt sich mir: Ich habe zwei Wahrscheinlichkeitsmasse $P,Q$ mit Dichteprozess $Z$, d.h. [mm] $Z_t:=E[\frac{dQ}{dP}|\mathcal{F}_t]$ [/mm] wobei [mm] $\frac{dQ}{dP}$ [/mm] die Radon Nikodym Ableitung ist. Es gilt $Z>0$. Nun wird in meinem Skript behauptet, dass [mm] $X_s:=\frac{Z_{t\vee}s}{Z_t}$ [/mm] ebenfalls ein Martingale ist. Für [mm] $s\le [/mm] t$ ist trivialerweise [mm] $X_s=1$. [/mm] Ich konnte die Martingaleeigenschaft für fast alle Fälle zeigen. Der einzige, welcher mir nicht gelingt ist: Für $s>t>u$,
[mm] $E[X_s|\mathcal{F}_u]=X_u$
[/mm]
per Definition haben wir: [mm] $E[X_s|\mathcal{F}_u]=E[\frac{Z_s}{Z_t}|\mathcal{F}_u]$. [/mm] Wieso soll dies gerade [mm] $X_u$ [/mm] sein?
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Hiho,
es ist:
[mm]E[X_s|\mathcal{F}_u]=E[\frac{Z_s}{Z_t}|\mathcal{F}_u] = E\left[E[\frac{Z_s}{Z_t}|\mathcal{F}_t]|\mathcal{F}_u\right][/mm]
Den Rest schaffst du bestimmt allein 
> Wieso soll dies gerade [mm]X_u[/mm] sein?
Was [mm] X_u [/mm] ist, weißt du doch bereits und das kommt oben auch raus.
MFG,
Gono.
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