Martingal und Cesàro-Mittel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:11 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | $X$ ist eine nichtnegative messbare Funktion.
Sei $(N, [mm] \mathcal [/mm] N , [mm] \nu)$ [/mm] der Raum aller nicht-negativen ganzen Zahlen, wobei das Maß jeder Menge gerade die Anzahl seiner Elemente ist. Sei [mm] $\mathcal G_{-n}$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die die Menge {0, 1, ..., n − 1} und alle einelementigen Mengen {k} mit $k [mm] \geq [/mm] n$ enthält.
Dann hat jedes Martingal [mm] $(X_{-n}, \mathcal G_{-n})_{n\geq 1}$ [/mm] die Form
[mm] $X_{-n} [/mm] = [mm] \mathbb [/mm] E(X [mm] \mid \mathcal G_{-n})$,
[/mm]
mit $X := [mm] X_{-1}$ [/mm] und umgekehrt, ist eine Funktion $X$ auf $N$ gegeben, so definiert obige Gleichung ein Martingal.
Es gilt sogar, dass [mm] $\E(X \mid \mathcal G_{-n})$ [/mm] durch
[mm] $X_{-n}(j) [/mm] = [mm] \begin{cases} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} X(i) & 0\leq j < n,\\
X(j) & j\geq n \end{cases}$
[/mm]
die Eigenschaften eines Martingals erfüllt. |
Leider fehlt mir für den ersten Teil der Ansatz, dies zu zeigen.
Wie kann ich mir diese [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] vorstellen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Di 05.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> [mm]X[/mm] ist eine nichtnegative messbare Funktion.
>
> Sei [mm](N, \mathcal N , \nu)[/mm] der Raum aller nicht-negativen
> ganzen Zahlen, wobei das Maß jeder Menge gerade die Anzahl
> seiner Elemente ist. Sei [mm]\mathcal G_{-n}[/mm] die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die die Menge {0, 1, ..., n − 1} und alle
> einelementigen Mengen {k} mit [mm]k \geq n[/mm] enthält.
>
> Dann hat jedes Martingal [mm](X_{-n}, \mathcal G_{-n})_{n\geq 1}[/mm]
> die Form
> [mm]X_{-n} = \mathbb E(X \mid \mathcal G_{-n})[/mm],
> mit [mm]X := X_{-1}[/mm]
> und umgekehrt, ist eine Funktion [mm]X[/mm] auf [mm]N[/mm] gegeben, so
> definiert obige Gleichung ein Martingal.
>
> Es gilt sogar, dass [mm]\E(X \mid \mathcal G_{-n})[/mm] durch
> [mm]$X_{-n}(j)[/mm] = [mm]\begin{cases} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} X(i) & 0\leq j < n,\\
X(j) & j\geq n \end{cases}$[/mm]
>
> die Eigenschaften eines Martingals erfüllt.
> Leider fehlt mir für den ersten Teil der Ansatz, dies zu
> zeigen.
>
> Wie kann ich mir diese [mm]\sigma[/mm]-Algebra vorstellen?
Indem man von der ![[]](/images/popup.gif) Definition Sigma-Algebra ausgeht,
und auf die in der Aufgabe definierten [mm]\mathcal G_{-n}[/mm] anwendet.
Für [mm]\mathcal G_{-1}[/mm] sucht man also die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra,
die alle einelementigen Mengen {0} und {k} mit [mm]k \geq 1[/mm] enthält.
Wegen der Definition [mm]\sigma[/mm]-Algebra, sind also auch N, [mm] $\emptyset$, [/mm] $N [mm] \setminus \{k\}$ [/mm] für [mm]k \geq 0[/mm]
und jede abzählbare Vereinigung der in [mm]\mathcal G_{-1}[/mm] vorkommenden Mengen
in [mm]\mathcal G_{-1}[/mm] enthalten.
Führt zu: [mm]\mathcal G_{-1}[/mm] entspricht der Potenzmenge von N.
Für [mm]\mathcal G_{-n}[/mm] mit $n > 1$ sucht man also die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra,
die die Menge {0, 1, ..., n − 1} und alle einelementigen Mengen {k} mit [mm]k \geq 1[/mm] enthält.
Wegen der Definition [mm]\sigma[/mm]-Algebra, sind also auch N, [mm] $\emptyset$, [/mm] $N [mm] \setminus \{k\}$ [/mm] für [mm]k \geq n[/mm],
[mm]N \setminus [/mm] {0, 1, ... , n - 1} und jede abzählbare Vereinigung der in [mm]\mathcal G_{-n}[/mm] vorkommenden Mengen
in [mm]\mathcal G_{-n}[/mm] enthalten.
[mm]\mathcal G_{-n}[/mm] für $n > 1$ ist eine echte Teilmenge der Potenzmenge von N;
{0, 1, ..., n − 1} kommt nur "ganz" in [mm]\mathcal G_{-n}[/mm] vor,
d.h. es kommt keine echte, nichtleere Teilmenge von {0, 1, ..., n − 1} in [mm]\mathcal G_{-n}[/mm] vor.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 06.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
