Martingal < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 So 18.01.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | | Der stochastische Prozess [mm] (Z_{n})_{n \in \IN_{0}} [/mm] sei ein Martingal. Für alle [mm] n \in \IN [/mm] sei ferner [mm] Y_{n} := Z_{n}-Z_{n-1} [/mm], wobei [mm] E(Y_{n}^{2})<\infty [/mm] gelte. Beweisen Sie , dass die Zufallsgrößen [mm] Y_{n} [/mm] und [mm] Y_{m} [/mm] dann unkorreliert für alle [mm] n,m \in \IN [/mm] mit [mm] n \not= m [/mm] sind. |
Mein Vorschlag wäre:
[mm] Kor(Y_{n},Y_{m})=\bruch{Cov(Y_{n},Y_{m})}{\wurzel{Var(Y_{n}) Var(Y_{m})}} [/mm]
Also wenn [mm] Y_{n} [/mm] und [mm] Y_{m} [/mm] unkorreliert sein soll, muss die Korrelation 0 betragen. Somit wenn die Kovarianz gleich 0 ist, ist auch die Korrelation gleich 0.
Also wollte ich die Kovarianz ausrechnen.
Somit ist zu zeigen, dass [mm] Cov(Y_{n},Y_{m})=0 [/mm] für [mm] n \not= m [/mm].
[mm] Cov(Y_{n},Y_{m})
= E(Y_{n},Y_{m})-E(Y_{n}) E(Y_{m})
= E((Z_{n}-Z_{n-1})( Z_{m}-Z_{m-1}))-E(Z_{n}-Z_{n-1}) E(Z_{m}-Z_{m-1})
= E((Z_{n}-Z_{n-1})(Z_{m}-Z_{m-1}))-(E(Z_{n})-E(Z_{n-1}))(E(Z_{m})-E(Z_{m-1})) [/mm]
Da der Erwartungswert eines stoch. Prozesses die Trendfunktion ist und bei einem Martingal die Trendfunktion konstant ist, folgt:
[mm]
=E((Z_{n}-Z_{n-1})(Z_{m}-Z_{m-1}))-(c-c)(c-c) [/mm] für [mm]c=constant
=E((Z_{n}-Z_{n-1})(Z_{m}-Z_{m-1})) [/mm]
Jetzt könnte ich das ja noch ausmultiplizieren und den Erwartungswert vor jedem Summanden schreiben. Also dann hätte ich
[mm]
=E(Z_{n}Z_{m})-E(Z_{n}Z_{m-1})-E(Z_{n-1}Z_{m})+E(Z_{n-1}Z_{m-1}) [/mm]
Jetzt weiß ich nicht weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben bzw. sagen, ob es bis dahin schon richtig ist?
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
riju
|
|
| |
|
Hiho,
du verwendest nicht um geringsten, was du sofort weißt, sondern formst nur sinnlos um.
1.) Was ist [mm] $E[Y_n]$? [/mm] Das kannst du sofort ausrechnen!
2.) oBdA m>n: [mm] $E[Y_nY_m] [/mm] = [mm] E[E[Y_nY_m|F_n]]$
[/mm]
Nun Martingaleigenschaft und Rechenregeln für die bedingte Erwartung nutzen.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
