Markov-Kette < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Wetter von morgen hängt vom Wetter von heute und gestern ab. Hat es gestern
und heute geregnet, so regnet es morgen mit Wahrscheinlichkeit 1 / 2 ; regnet es heute, aber
gestern nicht, so regnet es morgen mit Wahrscheinlichkeit 7 / 10 ; regnete es gestern, aber
heute nicht, so regnet es morgen mit Wahrscheinlichkeit 3 / 10 ; und regnete es nicht, so
regnet es morgen mit Wahrscheinlichkeit 1 / 5 .
Berechnen Sie für das zweite Modell die Wahrscheinlichkeit, dass es am Freitag nicht regnen
wird, wenn es Dienstag und Mittwoch geregnet hat. |
Guten Tag.
Ich hoffe, dass ich diese Frage hier im richtigen Unterforum stelle, könnte vielleicht auch zum Thema stochastische Prozesse passen.
Meine Frage bezieht sich auf die Grundlagen der Markov-Ketten.
Wir haben letztens im Tutorium aufgaben besprochen, sind aber leider nicht mehr zu der Markov-Kette gekommen und das ich die nötigen Basics benötige, wollte ich mal fragen ob ihr mir erklären könnt, wie man auf die Musterlösung hier kommt.
Die Aufgabe vom Tutorium findet ihr oben in der Box.
Damit folgt die schnell die folgende Übergangsmatrix (diese habe ich selbst aufgebaut, stand nicht mit in der Musterlösung, allerdings bin ich mir sicher, dass sie stimmt
$$
[mm] P=\left( \begin{array}{cccc}{4 / 5} & {1 / 5} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {3 / 10} & {7 / 10} \\ {7 / 10} & {3 / 10} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1 / 2} & {1 / 2}\end{array}\right)
[/mm]
$$.
Nun kommt man aber zur Lösung
[mm] $\operatorname{Sei}\left(X_{n}\right)_{n \geq 0}$ [/mm] die Markovkette zur letzten übergangsmatrix mit [mm] $X_{0}=$ [/mm] rr. Wir wollen wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit [mm] $X_{2} \in\{$ rs, ss $\} [/mm] .$ Wegen [mm] $\mathbb{P}\left(X_{0}=\mathrm{rr}\right)=1$ [/mm] ist
[mm] $\mathbb{P}\left(X_{2} \in\{\mathrm{rs}, \operatorname{ss}\} | X_{0}=\mathrm{rr}\right)=\mathbb{P}\left(X_{2} \in\{\mathrm{rs}, \mathrm{ss}\}, X_{0}=\mathrm{rr}\right)$
[/mm]
[mm] $=\mathbb{P}\left(X_{2} \in\{\mathrm{rs}, \mathrm{ss}\}, X_{1} \in\{\mathrm{rs}, \mathrm{rr}\}, X_{0}=\mathrm{rr}\right)$
[/mm]
[mm] $=\mathbb{P}\left(X_{2}=\mathrm{rs}, X_{1}=\mathrm{rr}, X_{0}=\mathrm{rr}\right)+\mathbb{P}\left(X_{2}=\mathrm{ss}, X_{1}=\mathrm{rs}, X_{0}=\mathrm{rr}\right)$
[/mm]
[mm] $=\mathbb{P}\left(X_{2}=\mathrm{rs} | X_{1}=\mathrm{rr}, X_{0}=\mathrm{rr}\right) \mathbb{P}\left(X_{1}=\mathrm{rr}, X_{0}=\mathrm{rr}\right)$
[/mm]
[mm] $+\mathbb{P}\left(X_{2}=\operatorname{ss} | X_{1}=\mathrm{rs}, X_{0}=\mathrm{rr}\right) \mathbb{P}\left(X_{1}=\mathrm{rs}, X_{0}=\mathrm{rr}\right)$
[/mm]
[mm] $=\mathbb{P}\left(X_{2}=\operatorname{rs} | X_{1}=\operatorname{rr}, X_{0}=\operatorname{rr}\right) \mathbb{P}\left(X_{1}=\operatorname{rr} | X_{0}=\operatorname{rr}\right) \mathbb{P}\left(X_{0}=\mathrm{rr}\right)$
[/mm]
[mm] $+\mathbb{P}\left(X_{2}=\operatorname{ss} | X_{1}=\operatorname{rs}, X_{0}=\operatorname{rr}\right) \mathbb{P}\left(X_{1}=\operatorname{rs} | X_{0}=\operatorname{rr}\right) \mathbb{P}\left(X_{0}=\mathrm{rr}\right)$
[/mm]
$=1 / 2 [mm] \cdot [/mm] 1 / 2 [mm] \cdot [/mm] 1+7 / 10 [mm] \cdot [/mm] 1 / 2 [mm] \cdot [/mm] 1=3 / 5$
Es wurde auch eine zweite Möglichkeit angeben, und zwar soll man hier [mm] $P^{2}$ [/mm] berechnen und die Einträge zum Übergang rr [mm] $\rightarrow [/mm] *$ s nehmen und addieren
Nun Meine Frage:
Wie kommt man auf die obere Rechnung?
Ich habe dieses Kapitel im Skript nun schon 30 mal gelesen und versuche seit 3 Tagen dahinter zu kommen und ich verstehe immer noch nicht wie die ganzen Umformungen funktionieren, wenn mir das mal Jemand dabei helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
Weiter würde mich einmal interessieren wie die zweite Möglichkeit funktionieren soll.
Ich habe die [mm] P^2 [/mm] schon berechnen, nur kann ich mir den weiteren Tipps nichts anfangen.
Ich hoffe Jemand kann mir helfen.
Viele Grüße
Markus
P.S. Es ist wie gesagt keine Hausaufgabe, ich will nur verstehen was hier gemacht wurde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Ich blicke bei Deiner Lösung nicht durch! Aber ich bin mir zu 99% sicher dass es einfach von einem Baumdiagramm abgelesen ist, und damit kannst du diese Aufgabe leichter nachvollziehen (und auch die Markovmatrix).
Hier ist mein Lösungsvorschlag:
Ich nehme an "$rr$" bedeutet es hat gestern und heute geregnet, "$rs$" es hat gestern geregnet und heute nicht.
Damit erhältst du für (gestern,heute) jeweils : [mm] $X_0=(r,r) [/mm] , [mm] X_1=(r,s) [/mm] , [mm] X_2=(s,r), X_3=(s,s)$ [/mm] (der Fall sr wird nicht gebraucht)
Jetzt betrachtet man für die Übergangsmatrix (gestern, heute, morgen); bspws ist: $(rrr): [mm] X_0 \rightarrow X_0$ [/mm] ; $(rrs): [mm] X_0 \rightarrow X_2$ [/mm] usw. die Werte kannst du aus dem Baum ablesen, beispielsweise ist der Wert des Überganges von [mm] $X_0 \rightarrow X_0$ [/mm] gerade [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $P_{00}$ [/mm] entspricht dann dem Übergang [mm] $X_0 \rightarrow X_0$ [/mm] und wird der Wert in deiner Übergangsmatrix an Stelle $0,0$
Jetzt rechnet man für die Wahrscheinlichkeit, dass es am Freitag nicht regnen wird die beiden Möglichkeiten zusammen: [mm] $\mathbb{P}(rrss) [/mm] + [mm] \mathbb{P}(rrrs) [/mm] = [mm] \mathbb{P}(X_0 X_3) [/mm] + [mm] \mathbb{P}(X_0 X_1) [/mm] $
RRSS und RRRS kannst du vom Baum ablesen,
Damit hast du die Lösung, ohne die Übergangsmatrix benutzt zu haben. Diese wurde für den oberen Teil der Antwort auch bei deiner Lösung nicht verwendet.
Zur zweiten Möglichkeit :
Dasselbe Resultat solltest du auch über deine Übergangsmatrix $P$ erhalten, in dem du [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 }\left( \begin{array}{cccc}{4 / 5} & {1 / 5} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {3 / 10} & {7 / 10} \\ {7 / 10} & {3 / 10} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1 / 2} & {1 / 2}\end{array}\right) [/mm] ^2 $ berechnest und diejenigen Übergänge zusammenzählst, die zu Nichtregnen führen (also [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_3$) [/mm]
Das Resultat stimmt in diesem Fall nicht, aber es liegt vermutlich daran, dass du deine Übergangsmatrix nicht mit den von mir angegebenen Übergängen aufgestellt hast. (Sprich deine Übergangsmatrix ist in meinen Augen falsch)
Vielleicht kriegst du eine elegantere und bessere Erklärung aber ich hoffe ich konnte Dir damit ein wenig weiterhelfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Sa 01.06.2019 | | Autor: | Markusss |
Hallo, danke für deine Antwort, ich versuche es einmal nachzuvollziehen.
Noch ein Wort zu "meiner" Lösung. Es ist nicht meine Lösung, sondern die Musterlösung.
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lol , deine musterlösung ist fürchterlich , keine Ahnung wer auf die Idee kommt, was auf ein Baumdiagramm hinausläuft, so zu verkomplizieren (für nichts, denn die Matrize selbst wird nicht verwendet)
da hat sich jemand einen Scherz mit dir/euch erlaubt oder ist nicht ganz dicht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Sa 01.06.2019 | | Autor: | Markusss |
mmh Ok,
stimmt den wenigstens die Lösung in der Musterlösung?
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Ja das Resultat ist richtig bzw. stimmt überein, und ist das was man erhält, wenn man einen Baum zeichnet und die Aufgabe dadurch löst, deswegen vermute ich, dass hier nicht anderes gemacht wird
wichtiger ist , dass du die Übergangsmatrix richtig hinbekommst, denn meistens wird in Prüfungen/Klausuren gefordert, dass du über längere Zeitspannen die Wahrscheinlichkeiten mit den Übergangsmatrizen berechnest, da kommst du mit einem Baum nicht hin und auf keinen Fall mit der Notation von deinem Prof/Tutor
Wie hast du denn die Übergangsmatrize gemacht? Eigentlich sollten nämlich die Übergänge beim aufstellen von dieser dabei abfallen
anders gesagt, wenn du die Übergangsmatrize richtig aufgestellt hast, hast du den ersten Teil automatisch gelöst
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 01.06.2019 | | Autor: | Markusss |
> Wie hast du denn die Übergangsmatrize gemacht?
Ich habe Sie aus dem gegebene Graphen abgeleitet.
Ich sehe gerade, dass das Bild in der Aufgabe nicht übernommen wurde:(
Hier der Graph von der Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Sa 01.06.2019 | | Autor: | Markusss |
> Wie hast du denn die Übergangsmatrize gemacht?
Ich habe Sie aus dem gegebene Graphen abgeleitet.
Ich sehe gerade, dass das Bild in der Aufgabe nicht übernommen wurde:(
Leider ist es auf dieser Seite nicht möglich ein Bild hochzuladen, denn ich bin nicht der Urheber.
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naja ist nicht so wild, ich hab eh keine Lust mich in diese grässliche Notation hineinzuarbeiten (zumal ich 100% sicher bin dass es einfach ein Baum ist lol)
was ich dich aber noch wissen lassen möchte, ist , dass du , wenn du eine Übergangsmatrize aufgestellt hast, diese numerisch sehr schnell überprüfen lassen kannst, mit wolfram-alpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B0,0,0,1%7D*%7B%7B0.8,+0.2,0,0%7D,+%7B0,+0,+0.3,+0.7%7D,%7B0.7,0.3,0,0%7D,+%7B0,0,0.5,0.5%7D%7D%5E2
hier zbsp. hab ich die Übergangsmatrix, die du aufgestellt hast, quadriert und mit (1,0,0,0) verrechnet (es sollte dem steady state nach 2 Tagen entsprechen); damit sieht man eigentlich, dass sie nicht richtig aufgestellt sein kann , denn aus der resultierenden Matrix muss die Summe von 2 Elementen (welche wiederum deinen "Übergängen" entsprechen) das Resultat aus dem oberen Abschnitt der Aufgabe ergeben ($3/5$)
Mein Rat an dich ist, dass du einen Baum zeichnest, dann versuchst nachzuvollziehen, wie man auf das obere Resultat kommt, dann daraus wie die Elemente der Übergangsmatrix gemacht werden und das selber überprüfst (mit dem Resultat aus dem oberen Abschnitt).
Ich denke, jemand anderes kann dir sicher mehr zur Notation aus dem oberen Abschnitt sagen, und wahrscheinlich auch zu der Aufgabe generell! Aber das ist immerhin etwas was dich weiterbringt lol
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Sa 01.06.2019 | | Autor: | Markusss |
Eine Frage hätte ich allerdings noch und zwar, warum multiplizierst du die Matrix mit dem Vektor (1,0,0,0)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 02.06.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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