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| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion f(x)= [mm] \wurzel{21-4x} [/mm] im Intervall I= (-3;2). Berechnen Sie die Mantelfläche des Körpers, der durch Rotation von f um die x-Achse entsteht und skizzieren Sie den Sachverhalt. |
Hi,
Erstmal Formel damit es niemand nachgucken muss: [mm] Mx=2\pi*\integral_{a}^{b}{f(x)* \wurzel{1+(f´(x))^2} dx}
[/mm]
Ich habe so angefangen:
f(x)= [mm] \wurzel{21-4x}
[/mm]
= [mm] (21-4x)^\bruch{1}{2}
[/mm]
f´(x)= [mm] -2(21-4x)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{2}{\wurzel{21-4x}}
[/mm]
[mm] (f´(x))^2= -\bruch{4}{21-4x}
[/mm]
Einsetzen:
[mm] Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2}{ \wurzel{21-4x}* \wurzel{1+-\bruch{4}{21-4x}} dx}
[/mm]
[mm] Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2}\wurzel{21-4x*1+-\bruch{4}{21-4x} dx}
[/mm]
[mm] Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2}\wurzel{21-4x* \bruch{21-4x-4}{21-4x} dx}
[/mm]
Mx= [mm] 2\pi*\integral_{-3}^{2} \wurzel{21-4x-4 }dx
[/mm]
[mm] Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2} \wurzel{ 17-4x} [/mm] dx
[mm] Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2} (17-4x)^{0,5} [/mm] dx
[mm] Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2} -\bruch{1}{6}(17-4x)^{1,5} [/mm] dx
Es muss Mx ca. 162,283 FE rauskommen...
Habe was anderes erhalten und daher denke ich dass ich einen Fehler habe..
LG
Schlumpf
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mo 19.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben sei die Funktion f(x)= [mm]\wurzel{21-4x}[/mm] im Intervall
> I= (-3;2). Berechnen Sie die Mantelfläche des Körpers,
> der durch Rotation von f um die x-Achse entsteht und
> skizzieren Sie den Sachverhalt.
> Hi,
>
> Erstmal Formel damit es niemand nachgucken muss:
> [mm]Mx=2\pi*\integral_{a}^{b}{f(x)* \wurzel{1+(f´(x))^2} dx}[/mm]
>
> Ich habe so angefangen:
>
> f(x)= [mm]\wurzel{21-4x}[/mm]
> = [mm](21-4x)^\bruch{1}{2}[/mm]
> f´(x)= [mm]-2(21-4x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{2}{\wurzel{21-4x}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm](f´(x))^2= -\bruch{4}{21-4x}[/mm]
Durch Quadrieren wird der Bruch positiv:
[mm] $(f'(x))^2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{21-4x}$
[/mm]
> Einsetzen:
> [mm]Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2}{ \wurzel{21-4x}* \wurzel{1+-\bruch{4}{21-4x}} dx}[/mm]
>
> [mm]Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2}\wurzel{21-4x*1+-\bruch{4}{21-4x} dx}[/mm]
Hier fehlen Klammern;
im weiteren hast du aber gerechnet,
als ob die Klammern da gewesen wären.
>
> [mm]Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2}\wurzel{21-4x* \bruch{21-4x-4}{21-4x} dx}[/mm]
>
> Mx= [mm]2\pi*\integral_{-3}^{2} \wurzel{21-4x-4 }dx[/mm]
>
> [mm]Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2} \wurzel{ 17-4x}[/mm] dx
> [mm]Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2} (17-4x)^{0,5}[/mm] dx
> [mm]Mx=2\pi*\integral_{-3}^{2} -\bruch{1}{6}(17-4x)^{1,5}[/mm] dx
>
> Es muss Mx ca. 162,283 FE rauskommen...
> Habe was anderes erhalten und daher denke ich dass ich
> einen Fehler habe..
>
> LG
> Schlumpf
>
Gruß
meili
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Hi danke meili
Habe es verbessert
Mx= [mm] 2*\pi\integral_{-3}^{2}{(25-4x)^{0,5} dx}
[/mm]
[mm] =2*\pi [/mm] ( [mm] -\bruch{1}{6}(25-4x)^{1,5}
[/mm]
= [mm] 2*\pi [/mm] ( -11,68- ( -37,51))= 51,66 [mm] *\pi [/mm]
Hier stimmt schon wieder was nicht :/ es muss 162, 283 [mm] *\pi [/mm] heissen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mo 19.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Schlumpf004!
> Mx= [mm]2*\pi\integral_{-3}^{2}{(25-4x)^{0,5} dx}[/mm]
> [mm]=2*\pi[/mm] (
> [mm]-\bruch{1}{6}(25-4x)^{1,5}[/mm]
> = [mm]2*\pi[/mm] ( -11,68- ( -37,51))= 51,66 [mm]*\pi[/mm]
Das sind aber Approximationen!
> Hier stimmt schon wieder was nicht :/ es muss 162, 283 [mm]*\pi[/mm]
> heissen.
Das Ergebnis ist mit Sicherheit ohne [mm] \pi [/mm] angegeben. Du hast
alles richtig gemacht. Ich komme auf [mm] $\approx [/mm] 161.18$.
Gruß
DieAcht
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Ach ja stimmt hast recht danke :))
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