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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] f: \mathbb R^{3} \to \mathbb R [/mm]
[mm] f(x_{1} , x_{2}, x_{3} ) = x_{1}^2 + x_{2}^2 - x_{3}^2 [/mm]
Diskutieren Sie für welche [mm] c \in \mathbb R [/mm] die Menge [mm] f^{-1} (c) [/mm] eine Mannigfaltigkeit ist.
Skizzieren Sie [mm] f^{-1} (c) [/mm] für [mm] c = -1, 0, 1 [/mm]. |
Einen schönen guten Abend!
Wir haben letzte Woche in der Vorlesung mir Vektoranalysis begonnen. Bis jetzt haben wir lauter Begriffe eingeführt, wie z.B. Eingebettete glatte n - dim. Mannigfaltigkeit, Karte, Kartenwechselabbildungen... und auch einige Sätze aufgeschrieben und bewiesen, unter anderem Satz über den lokalen Diffeomorphismus, Satz über das Urbild eines regulären Wertes, ...
Ich habe trotz mehrmaliger Versuche die Vorlesung nachzuarbeiten, irgendwie nicht den Einstieg in dieses Thema geschafft, da ich mir überhaupt nicht vorstellen kann, was ich hier mache...
Jetzt sitz ich unter anderem vor dieser Übungsaufgabem und verstehe um ehrlich zu sein, nicht was ich diskutieren soll und habe keine Vorstellung, was ich da und wie ich dies skizzieren kann. Wie haben in der Vorlesung keine konkretes Beispiel bis jetzt bearbeitet nur irgendwelche Abbildungen ( Karten ) gezeichnet, deren Sinn ich ebenfalls nicht verstanden habe :-(.
Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, was ich hier und wie ich das zeichnen soll. Ich weiß auch nicht, was dieses c ist... Und was [mm] f^{-1} [/mm] im diesem Zusammengang macht...
Bitte um Hilfe!!!
Vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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Als erstes würde ich mir mal ein halbwegs gutes Buch für Einsteiger besorgen, z.B. den Jänich.
Jetzt zur Aufgabe: Du sollst hier nur diskutieren, d.h. dir etwas überlegen. Zunächst musst du eine Vorstellung dafür bekommen, was du hier vor dir hast. Gehen wir mal zusammen das Beispiel mit der 0 durch, das mir auch am leichtesten zu sein scheint.
Was ist [mm]f^{-1}(0)[/mm]? Doch gerade die Menge der Punkte [mm]x = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] für die [mm]f(x)=0[/mm].
Setzen wir das mal ein und formen nach [mm] x_3 [/mm] um, dann erhalten wir: [mm]x_3^2 = x_1^2 + x_2^2[/mm]
Bei der Lösungsmenge handelt es sich um einen ![[]](/images/popup.gif) Doppelkegel. Warum?
Deine Aufgabe wäre es jetzt noch, herauszufinden, ob das eine Mannigfaltigkeit ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten morgen!
Ich habe mich gestern noch mal genauer damit auseinandergesetzt und habe auch den Buchtipp mir besorgt!
Genau in diesem Buch stand auch dieses Beispiel, welches ich dann natürlich versuscht habe nachzuvollziehen... Ich habe dennoch massig fragen...
> Als erstes würde ich mir mal ein halbwegs gutes Buch für
> Einsteiger besorgen, z.B. den Jänich.
Danke für den Tip!
> Jetzt zur Aufgabe: Du sollst hier nur diskutieren, d.h. dir
> etwas überlegen. Zunächst musst du eine Vorstellung dafür
> bekommen, was du hier vor dir hast. Gehen wir mal zusammen
> das Beispiel mit der 0 durch, das mir auch am leichtesten
> zu sein scheint.
> Was ist [mm]f^{-1}(0)[/mm]? Doch gerade die Menge der Punkte [mm]x = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> für die [mm]f(x)=0[/mm].
O.k das habe ich verstande.
> Setzen wir das mal ein und formen nach [mm]x_3[/mm] um, dann
> erhalten wir: [mm]x_3^2 = x_1^2 + x_2^2[/mm]
>
> Bei der Lösungsmenge handelt es sich um einen
> Doppelkegel.
> Warum?
So hier geht es schon los... Warum das der Doppelkegel ist, bin ich mir nicht 100%ig sicher.
Als erstes erinnert mich diese Gleichnung [mm]x_3^2 = x_1^2 + x_2^2[/mm] irgendwie an Pythagoras... ICh habe mir dann versucht das zu skizzieren, da heißt ich bin so dabei vorgegangen:
Ich habe mir einen [mm] x_1 [/mm] und einen [mm] x_2 [/mm] Wert genommen und habe es in diese neue Gleichung eingesetzt und geschaut was für [mm] x_3 [/mm] herauskommt. Dann habe ich diesen PUnkt eingetragen. So dann habe ich festgestellt, dass dies nur funktioniert wenn wir für [mm] x_1 \ge x_2 [/mm] gilt. Kann das sein?
Ist dies überhaupt der richtige Weg sowas zu skizzieren???
Und so ( wahrscheinlich ) umständlich habe ich das für die übrigen 2 Gleichungen vesucht.
Und bei dem Fall c=1 ist es nur möglich, wenn [mm] x_1 <1 [/mm] und [mm] x_2 < 1 [/mm] gilt... Ist das richtig?
Im Buch habe ich dann auch gesehen, dass es sich dabei um das Hyperboloid handelt.
So , das wäre zur Skizze.
Und nun zum Nachweis ( oder Diskussion ) ob es eine Mannigfaltigkeit ist:
Im Buch steht, dass es bei [mm] x = 0 [/mm] ein singulärer Punkt und es sich bei [mm] c \ne 0 [/mm] um reguläre Punkte handelt...Und als Fazit steht im Buch dass es sich beim Hyperboboid [mm] f^{-1} (c) [/mm] um eine 2 - dim. Mannigfaltigkeit handelt. Ich vestehe nicht warum, da
ich nicht wirklich weiß, was ein singulärer und was ein regulärer Punkt im ZUsammenhang mit Mannigfaltigkeiten bedeutet.
Warum ist das so?
Die einzigen Sachen, die ich in der Vorleung dazu gemacht haben ist die Definition der Mannigfaltigkeit und Satz über das Urtbild eines regulären Wertes.
Also konkret:
Eine eingebettete glatte n -dimensionale Mannigfaltigkeit [mm] M \subset \mathbb R^N [/mm] ist eine Teilmenge
[mm] M \subset \mathbb R^N [/mm], so dass gilt:
Für alle [mm] x \in M [/mm] existiert eine offene Umgebung [mm] \overline {U} [/mm] ,eine offene Teilmenge [mm] \overline{V} \subset \mathbb R^N [/mm] und ein Diffeomorphismus
[mm] \overline{\phi} : \overline{U} \to \overline{V} [/mm],
so dass gilt
[mm] \overline{ \phi } (U) = V [/mm]
für [mm] U = \overline{U} \cap M [/mm] und [mm] V = \overline{V} \cap \mathbb R^n x \{0 \}. [/mm].
Also, seh ich das richtig, dass ich hier diese Umgebungen angeben muss?
Und den Satz, den wir noch gemacht haben ist:
Sei [mm] f: \mathbb R^N \to \mathbb R^k [/mm] glatt. Sei [mm] v \in\mathbb R^k [/mm] und es gelte [mm] \forall x \in \mathbb R^N [/mm] mit [mm] f(x) = v [/mm]
[mm] D_x f: \mathbb R^N \to \mathbb R^N [/mm] ist surjektiv.
(Jacobi-Matrix hat maximalen Rang )
Dann gilt
[mm] f^{-1} (v) \subset \mathbb R^N [/mm] ist eine (N-k) dim . Mannigfaltigkeit.
Also, auf diesen Beispiel übertragen:
[mm] f: \mathbb R^3 \to \mathbb R [/mm] mit
[mm] f(x) = x_1^2 + x_2^2 -x_3^2 [/mm] und
[mm] D_x f = ( 2x_1 , 2x_2, -2x_3 ) [/mm]
Aber wie hilft mir das....
Wie ganz am Anfang erwähn, massig Fragen ....
Sorry!
Viele Grüße
Irmchen
Guten Abend nochmal!
Ich habe heute die Bestätigung dafür erhalten, dass wir die Frage, ob sich um eine Mannigfaltigkeit handelt auf jeden Fall mit dem oben formulierte Satz über das Urbild eines regulären Wertes beantworten sollen..
Bin ich dann auf dem richtigen Weg, wenn ich so vorgehe:
Der angewendete Satz lautet nochmal:
Sei [mm] f: \mathbb R^N \to \mathbb R^k [/mm] glatt. Sei [mm] v \in\mathbb R^k [/mm] und es gelte [mm] \forall x \in \mathbb R^N [/mm] mit [mm] f(x) = v [/mm]
[mm] D_x f: \mathbb R^N \to \mathbb R^N [/mm] ist surjektiv.
(Jacobi-Matrix hat maximalen Rang )
Dann gilt
[mm] f^{-1} (v) \subset \mathbb R^N [/mm] ist eine (N-k) dim . Mannigfaltigkeit.
Meine gegebene Funktione ist eine glatte Funktion vom [mm] \mathb R^3 [/mm] nach [mm] \mathbb R [/mm]. Dann ist mit
[mm] f(x) = x_1^2 + x_2^2 -x_3^2 [/mm] die vJacobi - Matrix
[mm] D_x f = ( 2x_1 , 2x_2, -2x_3 ) [/mm] die folgende.
Und man sieht, dass diese außer für x = 0 den Rang 1 hat, und somit den maximal möglichen.
Ist dies so richtig?
Falls ja, bedeutet denn das dann [mm] f^{-1} (c) [/mm] für [mm] c =1 [/mm] und [mm] c = -1 [/mm] eine zwei - dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Und für c = 0 nicht ?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Do 17.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> So hier geht es schon los... Warum das der Doppelkegel ist,
> bin ich mir nicht 100%ig sicher.
> Als erstes erinnert mich diese Gleichnung [mm]x_3^2 = x_1^2 + x_2^2[/mm]
> irgendwie an Pythagoras... ICh habe mir dann versucht das
> zu skizzieren, da heißt ich bin so dabei vorgegangen:
> Ich habe mir einen [mm]x_1[/mm] und einen [mm]x_2[/mm] Wert genommen und
> habe es in diese neue Gleichung eingesetzt und geschaut was
> für [mm]x_3[/mm] herauskommt. Dann habe ich diesen PUnkt
> eingetragen. So dann habe ich festgestellt, dass dies nur
> funktioniert wenn wir für [mm]x_1 \ge x_2[/mm] gilt. Kann das sein?
Du meinst sicher [mm]x_3 \ge x_1 [/mm] ?
> Ist dies überhaupt der richtige Weg sowas zu
> skizzieren???
Ich würde mir erst einmal [mm]x_3[/mm] festhalten und [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] bestimmen. Für festes [mm]x_3[/mm] liegen nämlich die Punkte auf einem Kreis mit dem Radius [mm]|x_3|[/mm], und damit hast du deine zwei Kegel (für positive und negative [mm]x_3[/mm]), die mit den Spitzen aufeinander stehen.
(Der Ausdruck [mm]x_1^2+x_2^2[/mm] ist konstant, wenn man um die [mm]x_3[/mm]-Achse dreht. Ähnliche Überlegungen gelten auch in mehr als 3-dimensionalen Räumen.)
> Und so ( wahrscheinlich ) umständlich habe ich das für
> die übrigen 2 Gleichungen vesucht.
> Und bei dem Fall c=1 ist es nur möglich, wenn [mm]x_1 <1[/mm] und
> [mm]x_2 < 1[/mm] gilt... Ist das richtig?
Für c=1 gilt doch: [mm]x_1^2+x_2^2 = 1+x_3^2[/mm], also liegen für festes [mm]x_3[/mm] die Punkte auf einem Kreis mit Radius [mm]\wurzel{x_3^2+1}[/mm]. Analog liegen sie für c=-1 auf einem Kreis mit Radius [mm]\wurzel{x_3^2-1}[/mm], daher muss hier [mm]|x_3|\ge 1[/mm] sein.
> Ich habe heute die Bestätigung dafür erhalten, dass wir die
> Frage, ob sich um eine Mannigfaltigkeit handelt auf jeden
> Fall mit dem oben formulierte Satz über das Urbild eines
> regulären Wertes beantworten sollen..
>
> Bin ich dann auf dem richtigen Weg, wenn ich so vorgehe:
>
> Der angewendete Satz lautet nochmal:
>
> Sei [mm]f: \mathbb R^N \to \mathbb R^k[/mm] glatt. Sei [mm]v \in\mathbb R^k[/mm]
> und es gelte [mm]\forall x \in \mathbb R^N[/mm] mit [mm]f(x) = v[/mm]
>
> [mm]D_x f: \mathbb R^N \to \mathbb R^N[/mm] ist surjektiv.
>
> (Jacobi-Matrix hat maximalen Rang )
> Dann gilt
>
> [mm]f^{-1} (v) \subset \mathbb R^N[/mm] ist eine (N-k) dim .
> Mannigfaltigkeit.
>
> Meine gegebene Funktione ist eine glatte Funktion vom
> [mm]\mathb R^3[/mm] nach [mm]\mathbb R [/mm]. Dann ist mit
> [mm]f(x) = x_1^2 + x_2^2 -x_3^2[/mm] die vJacobi - Matrix
> [mm]D_x f = ( 2x_1 , 2x_2, -2x_3 )[/mm] die folgende.
>
> Und man sieht, dass diese außer für x = 0 den Rang 1 hat,
> und somit den maximal möglichen.
>
> Ist dies so richtig?
> Falls ja, bedeutet denn das dann [mm]f^{-1} (c) [/mm] für [mm]c =1[/mm] und
> [mm]c = -1[/mm] eine zwei - dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Und
> für c = 0 nicht ?
Richtig. für [mm]c\not=0[/mm] liegt nämlich der Punkt x=0 nicht in der Menge [mm]f^{-1}(c)[/mm]. Daher hat die Jacobimatrix für alle Punkte dieser Menge maximalen Rang.
Für [mm]c=0[/mm] gibt es den einen Punkt [mm]0\in f^{-1}(0)[/mm], in dem die Jacobimatrix Rang 0 hat, daher handelt es sich bei der Menge [mm]f^{-1}(0)[/mm] nicht um eine Mannigfaltigkeit.
So einen Punkt, an dem sich der Rang der Jacobimatrix ändert, nennt man einen singulären Punkt. An dieser Stelle lässt sich die Gleichung [mm]f(x)=v[/mm] nicht mehr eindeutig auflösen (siehe auch den Satz von der impliziten Funktion).
Für c=0 besteht die Menge aus dem Mantel zweier unendlich hoher Kegel, die mit den Spitzen aufeinanderstehen. An dieser Spitze gibt es keine Karte. Wenn du mal nur einen der beiden Kegel anschaust, dann siehst du, dass es nicht möglich ist, eine glatte Abbildung von einer Umgebung der Spitze in den [mm]\IR^2[/mm] zu konstruieren. An jedem anderen Punkt des Kegelmantels ist das möglich.
Anschaulich: wenn du auf der Oberfläche eines solchen Riesenkegels stehst, dann sieht die Fläche um dich flach aus, ebenso wie die Erde früher als flach angesehen wurde. Stehst du aber an der Spitze, dann siehst du immer, dass die Fläche spitz zuläuft, sich die Steigung also abrupt ändert.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Do 17.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort!!!
Viele liebe Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Di 15.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
Ich vermute, dir fehlt bisher noch eine anschauliche Vorstellung einer Mannigfaltigkeit. In n Dimensionen ist das natürlich sehr schwierig, aber im [mm]\IR^3[/mm] eingebettete zweidimensionale Mannigfaltigkeiten kann man sich schon noch vorstellen (Beispiel: Kugeloberfläche).
Eine Karte ist anschaulich genau das, was auch ein Geograph darunter versteht: eine Darstellung eines Teils der Mannigfaltigkeit (Kugeloberfläche) auf einer (Hyper)Ebene im [mm]\IR^n[/mm]. Ein Atlas ist eine Kartensammlung, die die gesamte Mannigfaltigkeit (Kugeloberfläche) abdeckt.
Man kann sich eine Karte auch so vorstellen, dass man die Mannigfaltigkeit als Gummituch ansieht und versucht, ein Stück dieses Tuches über eine ebene Fläche zu ziehen. Bei einem Luftballon geht das nicht, erst wenn man ein Loch reinpiekt, hat man etwas, was man glattziehen kann.
Ebenso sehen wir bei der Kugeloberfläche, dass es keine Karte gibt, die die gesamte Mannigfaltigkeit darstellt: eine solche Karte hat immer mindestens eine singuläre Stelle. Polarkoordinaten sind ein Beispiel dafür.
Viele Grüße
Rainer
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