Mannigfaltigkeiten < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Do 07.02.2013 | | Autor: | yoda_rdu |
Hi!
In der all. Relativitaetstheorie werden 'allgemeine Koordinatentransformationen' (im Prinzip von kartesichen in krummlinige Koordinaten) betrachtet, die den Uebergang von einem ungekruemmten Raum (der das lokale Inertialsystem (IS) repraesentiert) in einen gekruemmten Raum darstellt. Wenn man das Ganze mit Mannigfaltigkeiten (MF) beschreibt, wird beispielsweise ein Vektor des Tangentialraums einer MF M in den Tangentialraum der MF N abgebildet (dies ist formal identisch mit einem Koordinatenwechsel innerhalb des Tangentialraums auf M). Wenn ich aber jeweils zwei Tangentialraeume betrachte, sind diese doch jeweils euklidisch. Man kann also immer kartesische Koordinaten einfuehren, so dass der Vektor im Prinzip von einem lokalen IS in ein anderes lokales IS ueberfuehrt wird. Sprich, wie wird die Kruemmung der MF bei diesen Betrachtungen einbezogen? Wenn man in einem Tangentialraum lediglich krummlinige Koordinaten einfuehrt, ist das ja 'geschummelt', da der Raum selbst ungekruemmt ist. Oder geht das nicht anders?
Entsprechend kann man doch in jedem Tangentialraum einer gekruemmten MF eine flache Metrik definieren (z.B. diag(-1, 1, 1, 1)). Wenn die MF differenzierbar ist, waeren die Ableitungen der Metrik Null (so dass das Christoffel-Symbol verschwindet und auch der Kruemmungstensor -- man haette also die Gesetze des ungekruemmten Raumes auf einer gekruemmten MF). Ich weiss, dass das so wenig Sinn ergibt -- vielleicht sieht jemand wo mein Denkfehler liegt?
Herzlichen Dank fuer eine Antwort,
Johannes
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 10.02.2013 | | Autor: | SEcki |
> In der all. Relativitaetstheorie werden 'allgemeine
> Koordinatentransformationen' (im Prinzip von kartesichen in
> krummlinige Koordinaten)
Das würde ich nicht so sehen. Es geht eher um lokale Karten.
> betrachtet, die den Uebergang von
> einem ungekruemmten Raum (der das lokale Inertialsystem
> (IS) repraesentiert) in einen gekruemmten Raum darstellt.
Dem würde ich auch sehr widersprechden.
> Wenn man das Ganze mit Mannigfaltigkeiten (MF) beschreibt,
> wird beispielsweise ein Vektor des Tangentialraums einer MF
> M in den Tangentialraum der MF N abgebildet
Was ist hier der Bezug? Irgendwo wird etwas abgedbildet. So what?
> (dies ist
> formal identisch mit einem Koordinatenwechsel innerhalb des
> Tangentialraums auf M).
Nein.
> Wenn ich aber jeweils zwei
> Tangentialraeume betrachte, sind diese doch jeweils
> euklidisch.
Es sind endlich-dimensionale Vektorräume. Diese versieht man dann mit einem Skalaprodukt zu euklidischen Vektorräumen, aber das ist an einem Punkt.
> Man kann also immer kartesische Koordinaten
> einfuehren, so dass der Vektor im Prinzip von einem lokalen
> IS in ein anderes lokales IS ueberfuehrt wird.
Was soll das heißen? Das macht für mich überhaupt keinen Sinn.
> Sprich, wie
> wird die Kruemmung der MF bei diesen Betrachtungen
> einbezogen?
Die Skalarprodukte variieren von Punkt zu Punkt - für jeden Tangentialraum hast du ein (anderes) Skalarprodukt. Das kann man lokal darstellen - aber: sei n die Dimension der Mgf. dann hat man eine lokale Darstellung des Tangentialbündels von M als [m]\IR^n\times\|IR^n[/m], wobei zB der zeite Faktor der Tangentialraum ist, und hier die metrischen Größen glatt variieren und eben nicht mehr flach sein müssen.
> Wenn man in einem Tngentialraum lediglich
> krummlinige Koordinaten einfuehrt,
Was soll das sein? Ob etwas flach oder wie gekrümmt ist hängt ja eben nicht von der Art der Koordinaten ab.
> ist das ja
> 'geschummelt', da der Raum selbst ungekruemmt ist. Oder
> geht das nicht anders?
Was soll das denn konzeptuell sein?
> Entsprechend kann man doch in jedem Tangentialraum einer
> gekruemmten MF eine flache Metrik definieren (z.B. diag(-1,
> 1, 1, 1)).
Lokal. Ob es global geht, ist eine andere Frage. Also welche Mgf. Metriken mit welchen Krümmungseigenschaften tragen können. Auch kann eine Mgf. mehrere verschiedene Metriken tragen. Dh also, wenn du die Metrik änderst, änderst du logischerwiese auch die Eigneschaft "Krümmung".
> Wenn die MF differenzierbar ist, waeren die
> Ableitungen der Metrik Null (so dass das Christoffel-Symbol
> verschwindet und auch der Kruemmungstensor -- man haette
> also die Gesetze des ungekruemmten Raumes auf einer
> gekruemmten MF).
Das macht keinen Sinn.
> Ich weiss, dass das so wenig Sinn ergibt
> -- vielleicht sieht jemand wo mein Denkfehler liegt?
Ich glaube folgende:
- du verwechselt Tangentialraum an einen Punkt mit den varrierenden Tangentialräumen
- du verwechselt Vorraussetzungen mit neuen Konstruktionen (zB kann der a priori flache [m]\IR^n[/m] mit einer konstant negativen Krümmung ergebenen Metrik ausgestattet werden.)
- du verwechselst lokale Karten mit tatsächlichen metrischen Eigenschaften
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 So 10.02.2013 | | Autor: | yoda_rdu |
Hi,
Danke für die Kommentare. Ich sehe, dass ich meine Fragen nicht sonderlich klar formuliert habe. Eines meiner Probleme war, wie man Tangentialräume mit einander verbindet, um die jeweiligen Vektoren mit einander zu vergleichen. Nach etwas mehr Nachlesen/-denken sehe ich, dass dieses Problem mittels "Zusammenhängen" bzw. Paralleltransport gelöst wurde. So kann man dann auch die Krümmung beschreiben).
> > (dies ist
> > formal identisch mit einem Koordinatenwechsel innerhalb des
> > Tangentialraums auf M).
>
> Nein.
S. Wald's "General Relativity", letzter Absatz in "Appendix C.1".
So wie ich das verstehe, kann man die "allgemeinen Koordinatentransformationen" nur innerhalb eines euklidischen (Tangential-) Raums vollziehen, da ja nur dort Vektoren definiert sind (statt in einem "gekrümmten Raum"). Und dass man damit Gesetze mit Gravitation (= "gekrümmte MF") beschreiben kann müsste wegen des Äquivalenzprinzips möglich sein. (Zumindest ist das meine vorläufige Erklärung.)
- J.
|
|
|
|
