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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel[2]{\bruch{1+4t}{4t}}dx} [/mm] |
so ich brauch das integral für eine bogenlänge.
ich habs mal ein bischen umgestellt auf:
[mm] 0.5*\integral_{a}^{b}{\wurzel[2]{\bruch{1}{t}+4}dx}
[/mm]
und dann 1/t substituiert, bingt aber keinen erfolg.
daher bruach ich ein paar tipps.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Fr 25.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
[mm] \wurzel[2]{\bruch{1+4t}{4t}}
[/mm]
Substituiere mal [mm] z=\bruch{1+4t}{4t}.
[/mm]
Alternativ kannst du am Ende deiner Rechnung auch [mm] z=\bruch{1}{t}+4 [/mm] substituieren
Marius
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ok dann bekomm ich:
[mm] -0.5*\integral_{a}^{b}{\wurzel{z}\bruch{1}{(z-4)^{2}}* dx}
[/mm]
und was nu? hab pbz versucht aber ich weiss nicht so ganz wie ich das [mm] \wurzel{z} [/mm] behandeln soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wie bist du bitte darauf gekommen ... ?
Schreib doch mal deine einzelnen Rechenschritte inklusive Ableitung etc auf.
Falls du dieses Integral aber aus sonstigen Gründen lösen möchtest, so könntest du das über partielle Integration machen.
[mm] \wurzel{z}=z^\bruch{1}{2}
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{(z-4)^{2}} [/mm] = [mm] ((z-4)^{2})^{-1}
[/mm]
Das könnte man nun wie gewohnt nach den Potenzgesetzen ableiten.
Lg
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hallo Arvi,
ich bin beim Substituieren auch nicht weiter gekommen
dann habe ich mir mal vom CAS das Ergebnis anzeigen lassen:
[mm]-\ \bruch{1}{8} * \left(ln \ |t| + 2*\left(ln\left(\wurzel{\bruch{4*t+1}{t}}-2\right) -2*t*\wurzel{\bruch{4*t+1}{t}}\right)\right)[/mm]
das hat mich dann vor dem weiter rechnen eher etwas abgeschreckt...
übrigens:
das CAS kann die Stammfunktion gar nicht anstandslos wieder ableiten!
(vermutlich wegen dem |t| ). Wenn ich die Zusatzbedingung t>0 eingebe,
klappt es (für t [mm] \le [/mm] 0 ist f(t) nicht definiert, wenigstens nicht reell).
vielleicht ist aber das Resultat eine Hilfe, um einen Ansatz zum Lösungsweg zu finden
oder man begnügt sich mit der Formel aus dem CAS oder integriert numerisch
Gruß al-Chwarizmi
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habs auch schon mit partieller versucht aber das integral wird nur noch komplizierter und wegen der +4 kann man auch nichts kürzen (oder überseh ich da was?)
ging übrings darum die bogenlänge von 0 bis 2 auszurechnen von [mm] x(t)=\vektor{\wurzel{t} \\ t}
[/mm]
geht bestimmt auch irgentwie einfacher oder?
das integral kommt mit nämlich relativ kompliziert vor, auch wenn es auf den ersten blick harmlos aussieht.
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Hallo Arvi-Aussm-Wald,
> habs auch schon mit partieller versucht aber das integral
> wird nur noch komplizierter und wegen der +4 kann man auch
> nichts kürzen (oder überseh ich da was?)
>
> ging übrings darum die bogenlänge von 0 bis 2 auszurechnen
> von [mm]x(t)=\vektor{\wurzel{t} \\ t}[/mm]
> geht bestimmt auch
> irgentwie einfacher oder?
> das integral kommt mit nämlich relativ kompliziert vor,
> auch wenn es auf den ersten blick harmlos aussieht.
[mm]\integral_{0}^{2}{\wurzel{\bruch{1+4t}{4t}} \ dt}[/mm]
Die Substitution [mm]z^{2}=4t, \ 2z \ dz = 4 \ dt[/mm] führt auf:
[mm]\integral_{0}^{2}{\wurzel{\bruch{1+4t}{4t}} \ dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\sqrt{8}}{\wurzel{1+z^{2}} \ dz}[/mm]
Eine weitere Substitution [mm]z=\sinh\left(w\right), dz = \cosh\left(w\right) \ dw[/mm] führt auf:
[mm]=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{arsinh\left(\wurzel{8}\right)}{\cosh^{2}\left(w\right) \ dw}[/mm]
Dieses Integral ist jetzt leichter zu lösen.
Gruß
MathePower
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ok danke, ich hoff mal ich bekomm es damit hin
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Bogenlängen-Integrale können auch bei relativ "einfachen" Kurven
erfahrungsgemäss ziemlich vertrackt herauskommen...
Zum Glück haben wir aber noch MathePower, der den hier passenden
professionellen Trick noch nicht vergessen hat!  al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Fr 25.04.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo al-Chwarizmi,
> Bogenlängen-Integrale können auch bei relativ "einfachen"
> Kurven
> erfahrungsgemäss ziemlich vertrackt herauskommen...
>
> Zum Glück haben wir aber noch MathePower, der den hier
> passenden
> professionellen Trick noch nicht vergessen hat!
Das ehrt mich.
> al-Chwarizmi
Gruß
MathePower
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