Majorantenkriterium I < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Überprüfe in Abhängigkeit von a > 0, ob die folgende Reihe konvergiert und ob sie absolut konvergiert.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+a^n}[/mm] |
Guten Morgen.
Ich bin noch ganz neu in dem Thema Reihen und versuche mich nun an den einzelnen Kriterien.
Ansatz:
Die Reihe ähnelt der geometrische Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^n[/mm] und diese ist konvergent, daher könnte man diese als Majorante verwenden, oder?
Und nun muss der Betrag von der Folge der Partialsummen der Reihe kleiner oder gleich der Majorante sein, oder?
[mm] |\bruch{1}{1+a^n}| = \bruch{1}{1+a^n} < \bruch{1}{a^n} = (\bruch{1}{a})^n[/mm]
Reicht das schon für den Beweis der Konvergenz?
Oder muss ich noch so etwas schreiben ( bitte korrigieren bzw. besseren Vorschlag geben )
Da bekannt ist, dass die geometrische Reihe konvergiert und diese als Majorante gewählt wurde ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+a^n}[/mm] konvergent.
Und um absolute Konvergenz zu beweisen muss doch einfach nur der Betrag der Folge der Partialsummen der Reihe konvergent sein.
Und dies ist hier der Fall, da [mm] \bruch{1}{1+a^n} = | \bruch{1}{1+a^n} |[/mm] und für [mm] \bruch{1}{1+a^n} [/mm] die Konvergenz bewiesen wurde.
Vielen Dank für jede Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Überprüfe in Abhängigkeit von a > 0, ob die folgende
> Reihe konvergiert und ob sie absolut konvergiert.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+a^n}[/mm]
>
> Guten Morgen.
>
> Ich bin noch ganz neu in dem Thema Reihen und versuche mich
> nun an den einzelnen Kriterien.
>
> Ansatz:
>
> Die Reihe ähnelt der geometrische Reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^n[/mm] und diese ist konvergent,
Hallo,
aber nicht für jedes q...
> daher
> könnte man diese als Majorante verwenden, oder?
Ja, für geeignete a.
>
> Und nun muss der Betrag von der Folge der Partialsummen der
> Reihe kleiner oder gleich der Majorante sein, oder?
>
> [mm]|\bruch{1}{1+a^n}| = \bruch{1}{1+a^n} < \bruch{1}{a^n} = (\bruch{1}{a})^n[/mm]
Du müßtest jetzt schreiben:
die geometrische Reihe [mm] $\summe_{i=0}^{\infty} q^n$ [/mm] konvergiert für |q|<1, daher konvergiert nach dem Majorantenkriterium die gegebene Reihe für alle a mit ...
Im der Begründung sollten die Begriffe "geometrische Reihe" und "Majorantenkriterium" unbedingt vorkommen.
>
> Reicht das schon für den Beweis der Konvergenz?
Du siehst, daß die Frage bislang noch nicht für jedes a beantwortet ist.
> Und um absolute Konvergenz zu beweisen muss doch einfach
> nur der Betrag der Folge der Partialsummen der Reihe
> konvergent sein.
>
> Und dies ist hier der Fall, da [mm]\bruch{1}{1+a^n} = | \bruch{1}{1+a^n} |[/mm]
Ja. Wenn die Reihe konvergiert, dann auch absolut.
LG Angela
> und für [mm]\bruch{1}{1+a^n}[/mm] die Konvergenz bewiesen wurde.
|
|
|
| |
|
Hallo Angela :)
> > Die Reihe ähnelt der geometrische Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^n [/mm]
>> und diese ist konvergent,
>
> Hallo,
>
> aber nicht für jedes q...
Nur für [mm]|q| < 1[/mm]
>
> > daher
> > könnte man diese als Majorante verwenden, oder?
>
> Ja, für geeignete a.
Ich würde sagen für alle a bis auf [mm]a = 0[/mm] und [mm]a = -2[/mm], denn
für [mm]a = 0[/mm] ist [mm]|q| = 1[/mm] -> [mm]\bruch{1}{1 + 0^n} = 1[/mm]
für [mm]a > 0[/mm] ist [mm]|q| < 1[/mm]
für [mm]a < 0[/mm] ist [mm]|q| < 1[/mm] außer [mm]a = -2[/mm], denn dafür ist [mm]|q| = 1[/mm] -> [mm]\bruch{1}{1 -2^1} = -1[/mm]
Ist das so richtig?
> > Und nun muss der Betrag von der Folge der Partialsummen der
> > Reihe kleiner oder gleich der Majorante sein, oder?
> >
> > [mm]|\bruch{1}{1+a^n}| = \bruch{1}{1+a^n} < \bruch{1}{a^n} = (\bruch{1}{a})^n[/mm]
>
> Du müßtest jetzt schreiben:
>
> die geometrische Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^n[/mm] konvergiert für |q|<1, daher konvergiert
> nach dem Majorantenkriterium die gegebene Reihe für alle a mit ...
>
> Im der Begründung sollten die Begriffe "geometrische
> Reihe" und "Majorantenkriterium" unbedingt vorkommen.
>
Die geometrische Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^n[/mm] konvergiert für [mm]|q| < 1[/mm], daher konvergiert die
gegebene Reihe nach dem Majorantenkriterium für alle a bis auf [mm]a = 0[/mm] und [mm]a = -2[/mm].
Richtig?
Dankeschön :)
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
> Hallo Angela :)
>
>
>
> > > Die Reihe ähnelt der geometrische Reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^n[/mm]
> >> und diese ist konvergent,
> >
> > Hallo,
> >
> > aber nicht für jedes q...
>
> Nur für [mm]|q| < 1[/mm]
Genau!
> >
> > > daher
> > > könnte man diese als Majorante verwenden, oder?
> >
> > Ja, für geeignete a.
>
> Ich würde sagen für alle a bis auf [mm]a = 0[/mm] und [mm]a = -2[/mm],
> denn
> für [mm]a = 0[/mm] ist [mm]|q| = 1[/mm] -> [mm]\bruch{1}{1 + 0^n} = 1[/mm]
> für [mm]a > 0[/mm]
> ist [mm]|q| < 1[/mm]
> für [mm]a < 0[/mm] ist [mm]|q| < 1[/mm] außer [mm]a = -2[/mm], denn
> dafür ist [mm]|q| = 1[/mm] -> [mm]\bruch{1}{1 -2^1} = -1[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nein, nach Voraussetzung ist doch [mm]a>0[/mm]
Die Abschätzung [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+a^n} \ \le \ \sum\limits_{n\ge 1}\left(\frac{1}{a}\right)^n[/mm] gilt für jedes [mm]a>0[/mm]
Die majorante Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\left(\frac{1}{a}\right)^n[/mm] konvergiert aber nur für [mm]\left|\frac{1}{a}\right|<1[/mm], also für [mm]|a|>1[/mm], dh. wegen [mm]a>0[/mm] für [mm]a>1[/mm]
Bleibt noch [mm]0
Wie sieht es für diese [mm]a[/mm] aus mit Konvergenz oder Divergenz?
> Die geometrische Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^n[/mm]
> konvergiert für [mm]|q| < 1[/mm], daher konvergiert die
>
> gegebene Reihe nach dem Majorantenkriterium für alle a bis
> auf [mm]a = 0[/mm] und [mm]a = -2[/mm].
Nein, siehe oben, die majorante Reihe [mm]\sum 1/a^n[/mm] konvergiert nur für [mm]a>1[/mm]
>
> Richtig?
>
> Dankeschön :)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus,
es freut mich sehr, dass du mir hilfst :)
> > Ich würde sagen für alle a bis auf [mm]a = 0[/mm] und [mm]a = -2[/mm],
> Nein, nach Voraussetzung ist doch [mm]a>0[/mm]
Oh Gott, das habe ich ganz vergessen. Vielen Dank für den Hinweis.
Nur aus Interesse, wäre es richtig, wenn die Voraussetzung a>0 nicht gegeben wäre?
> Die Abschätzung [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+a^n} \ \le \ \sum\limits_{n\ge 1}\left(\frac{1}{a}\right)^n[/mm] gilt für jedes [mm]a>0[/mm]
> Die majorante Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\left(\frac{1}{a}\right)^n[/mm] konvergiert aber nur für [mm]\left|\frac{1}{a}\right|<1[/mm], also
> für [mm]|a|>1[/mm], dh. wegen [mm]a>0[/mm] für [mm]a>1[/mm]
>
> Bleibt noch [mm]0
>
> Wie sieht es für diese [mm]a[/mm] aus mit Konvergenz oder
> Divergenz?
Mit [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]|\bruch{1}{a}| > 1[/mm] und demnach divergiert die Reihe.
Reicht das so als Begründung? Beziehungsweise ist das so korrekt für eine Prüfung?
Liebe Grüße,
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
>
> Hallo schachuzipus,
> es freut mich sehr, dass du mir hilfst :)
>
> > > Ich würde sagen für alle a bis auf [mm]a = 0[/mm] und [mm]a = -2[/mm],
>
> > Nein, nach Voraussetzung ist doch [mm]a>0[/mm]
>
> Oh Gott, das habe ich ganz vergessen. Vielen Dank für den
> Hinweis.
> Nur aus Interesse, wäre es richtig, wenn die
> Voraussetzung a>0 nicht gegeben wäre?
Das müsste man dann gucken ...
Für $a<0$ hättest du immer einen alternierenden Term [mm] $a^n$ [/mm] mit drin.
Machen wir erstmal dies zuende, das mit [mm] $a\le [/mm] 0$ können wir danach noch betrachten, wenn du magst ...
>
> > Die Abschätzung [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+a^n} \ \le \ \sum\limits_{n\ge 1}\left(\frac{1}{a}\right)^n[/mm]
> gilt für jedes [mm]a>0[/mm]
>
>
> > Die majorante Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\left(\frac{1}{a}\right)^n[/mm]
> konvergiert aber nur für [mm]\left|\frac{1}{a}\right|<1[/mm], also
> > für [mm]|a|>1[/mm], dh. wegen [mm]a>0[/mm] für [mm]a>1[/mm]
> >
> > Bleibt noch [mm]0
> >
> > Wie sieht es für diese [mm]a[/mm] aus mit Konvergenz oder
> > Divergenz?
>
> Mit [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]|\bruch{1}{a}| > 1[/mm] und demnach
> divergiert die Reihe.
>
> Reicht das so als Begründung? Beziehungsweise ist das so
> korrekt für eine Prüfung?
Nun, die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{a^n}$ [/mm] ist in jedem Falle (also für alle $a>0$) eine Majorante zu [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+a^n}$
[/mm]
Und für $a>1$ sogar eine konvergente Majorante, also ist für diese $a$ auch die Ausgangsreihe konvergent.
Für [mm] $0
Daraus können wir aber nix über die Konvergenz der Ausgangsreihe sagen.
Die ist zwar kleiner als die Majoranten, muss aber nicht endlich sein, sie könnte also durchaus divergieren.
Eine divergente Majorante hilft dir also nix.
Im Falle [mm] $0
Wenn du magst, kann man sich $a=1$ separat angucken, nur so zum Spaß 
(oder sagen wir Lerneffekt )
Dann hast du [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+1^n}=\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{2}=\infty$ [/mm] - also Divergenz.
Das kann man aber auch allg. in die Untersuchung [mm] $0
Mal ein Tipp:
Was ist denn notwendige Bedingung dafür, dass eine Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}a_n$ [/mm] konvergiert?
Stichwort: Trivialkriterium.
Dann untersuche das mal für [mm] $0
>
>
> Liebe Grüße,
> Lisa
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Machen wir erstmal dies zuende
Abgemacht ;)
> das mit [mm]a\le 0[/mm] können wir danach noch betrachten, wenn du magst ...
Ich mag, aber nur wenn du auch Lust hast :P
> > > Bleibt noch [mm]0
> > >
> > > Wie sieht es für diese [mm]a[/mm] aus mit Konvergenz oder
> > > Divergenz?
War die Frage eigentlich auf die geometrische Reihe oder auf unsere zu untersuchende Reihe bezogen?
Denn ich habe das dann ja für geometrische Reihe gemacht.
> Nun, die Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{a^n}[/mm] ist in
> jedem Falle (also für alle [mm]a>0[/mm]) eine Majorante zu
> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+a^n}[/mm]
>
> Und für [mm]a>1[/mm] sogar eine konvergente Majorante, also ist
> für diese [mm]a[/mm] auch die Ausgangsreihe konvergent.
>
> Für [mm]0
> zuerst vertippt) hast du insoweit recht, dass die Majorante
> divergiert.
>
> Daraus können wir aber nix über die Konvergenz der
> Ausgangsreihe sagen.
>
> Die ist zwar kleiner als die Majoranten, muss aber nicht
> endlich sein, sie könnte also durchaus divergieren.
Das verstehe ich nicht ganz. Ist die Reihe nicht per se unendlich?
> Eine divergente Majorante hilft dir also nix.
>
> Im Falle [mm]0
>
> Wenn du magst, kann man sich [mm]a=1[/mm] separat angucken, nur so
> zum Spaß
>
> (oder sagen wir Lerneffekt )
Sehr gerne :)
> Dann hast du [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+1^n}=\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{2}=\infty[/mm]
> - also Divergenz.
>
> Das kann man aber auch allg. in die Untersuchung [mm]0
> packen.
Hmm, wie man das da rein packen kann, habe ich noch nicht verstanden.
> Mal ein Tipp:
>
> Was ist denn notwendige Bedingung dafür, dass eine Reihe
> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}a_n[/mm] konvergiert?
>
> Stichwort: Trivialkriterium.
>
Das Trivilkriterium besagt, dass bei einer konvergenten Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] , die Folge [mm]a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
!! Das interessiert mich schon die ganze Zeit. Wie nennt man <span class="math">[mm]a_n [/mm] eigentlich? Ich hätte gesagt, dass ist die Folge der Partialsummen der Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm]. Ist das richtig?
> Dann untersuche das mal für [mm]0 < a < 1[/mm]
für [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 + a^n} = \bruch{1}{1 + \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 0} = 1[/mm]
Demnach ist das notwendige Kriterium, also die Nullfolge, nicht erfüllt und demnach ist Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{1 +a^n}[/mm] für [mm]0
Und für a = 0 gilt das Gleiche, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
>
>
> > Machen wir erstmal dies zuende
> Abgemacht ;)
>
> > das mit [mm]a\le 0[/mm] können wir danach noch betrachten, wenn du
> magst ...
> Ich mag, aber nur wenn du auch Lust hast :P
>
>
> > > > Bleibt noch [mm]0
> > > >
> > > > Wie sieht es für diese [mm]a[/mm] aus mit Konvergenz oder
> > > > Divergenz?
>
> War die Frage eigentlich auf die geometrische Reihe oder
> auf unsere zu untersuchende Reihe bezogen?
Auf die Ausgangsreihe.
Ich sagte ja, dass diese geometrische Reihe [mm] $\sum\frac{1}{a^n}$ [/mm] für jedes $a>0$ eine Majorante zu der AUsgangsreihe ist, aber diese Majorante ist nur für a>1 konvergent.
Also kannst du erstmal nur für den Fall a>1 auf Konvergenz der Ausgangsreihe schließen.
Für [mm] $0
Wenn du eine konvergente Majorante hast, heißt das, dass diese Marorante "größer" ist als deine Ausgangsreihe ist und dass sie konvergiert, also einen endlichen Wert hat.
Damit hat aber die kleinere Ausgangsreihe auch einen endlichen Wert (da kleineren Wert als die Majorante), ist also auch konvergent.
Hast du eine Majorante, die divergiert, also einen unendlichen Wert hat, so hat die Ausgangsreihe zwar einen "kleineren" Wert, der kann aber immer noch unendlich sein, die Ausgangsreihe kann divergieren oder konvergieren.
Darum hilft dir eine div. Majorante nix.
> Denn ich habe das dann ja für geometrische Reihe
> gemacht.
Jo, musste aber für [mm] $0
>
> > Nun, die Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{a^n}[/mm] ist in
> > jedem Falle (also für alle [mm]a>0[/mm]) eine Majorante zu
> > [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+a^n}[/mm]
> >
> > Und für [mm]a>1[/mm] sogar eine konvergente Majorante, also ist
> > für diese [mm]a[/mm] auch die Ausgangsreihe konvergent.
> >
> > Für [mm]0
> > zuerst vertippt) hast du insoweit recht, dass die Majorante
> > divergiert.
> >
> > Daraus können wir aber nix über die Konvergenz der
> > Ausgangsreihe sagen.
> >
> > Die ist zwar kleiner als die Majoranten, muss aber nicht
> > endlich sein, sie könnte also durchaus divergieren.
>
> Das verstehe ich nicht ganz. Ist die Reihe nicht per se
> unendlich?
Mit "Reihe ist endlich" meine ich salopp, dass sie einen endlichen Wert hat
>
> > Eine divergente Majorante hilft dir also nix.
> >
> > Im Falle [mm]0
> >
> > Wenn du magst, kann man sich [mm]a=1[/mm] separat angucken, nur so
> > zum Spaß
> >
> > (oder sagen wir Lerneffekt )
>
> Sehr gerne :)
>
> > Dann hast du [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{1+1^n}=\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{2}=\infty[/mm]
> > - also Divergenz.
> >
> > Das kann man aber auch allg. in die Untersuchung [mm]0
> > packen.
>
> Hmm, wie man das da rein packen kann, habe ich noch nicht
> verstanden.
Mache die nachfolgenden Untersuchungen mit dem Trivialkrit. halt für [mm] $0
>
> > Mal ein Tipp:
> >
> > Was ist denn notwendige Bedingung dafür, dass eine Reihe
> > [mm]\sum\limits_{n\ge 1}a_n[/mm] konvergiert?
> >
> > Stichwort: Trivialkriterium.
> >
>
> Das Trivilkriterium besagt, dass bei einer konvergenten
> Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] , die Folge [mm]a_n[/mm] eine
> Nullfolge ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das bedeutet im Umkehrschluss (Kontrapostion):
Wenn [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist, so ist die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}$ [/mm] nicht konvergent (also divergent)
>
> !! Das interessiert mich schon die ganze Zeit. Wie nennt
> man [mm]a_n[/mm] eigentlich? Ich hätte gesagt,
> dass ist die Folge der Partialsummen der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm]. Ist das richtig?
Nein, zudem stimmt der Index [mm] $a_{\red n}$ [/mm] nicht
[mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist die Folge der Reihenglieder.
Die Folge der Partialsummen ist was anderes, da wird summiert.
Die Folge der Partialsummen der Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] ist [mm] $\left(\sum\limits_{n=0}^ka_n\right)_{k\in\IN}$
[/mm]
Hier betrachten wir nur die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
>
> > Dann untersuche das mal für [mm]0 < a < 1[/mm]
>
> für [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 + a^n} = \bruch{1}{1 + \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 0} = 1[/mm]
>
> Demnach ist das notwendige Kriterium, also die Nullfolge,
> nicht erfüllt und demnach ist Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{1 +a^n}[/mm]
> für [mm]0
Sehr gut!
Genauso hatte ich mir das gedacht!
>
> Und für a = 0 gilt das Gleiche, oder?
Jo, für $a=0$ haben wir ja [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}1$
[/mm]
Da wird unendlich oft die 1 summiert, das gibt keinen endlichen Wert ...
Aber $a=0$ müssen wir ja nicht anschauen ....
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Auf die Ausgangsreihe.
>
> Ich sagte ja, dass diese geometrische Reihe
> [mm]\sum\frac{1}{a^n}[/mm] für jedes [mm]a>0[/mm] eine Majorante zu der
> AUsgangsreihe ist, aber diese Majorante ist nur für a>1
> konvergent.
>
> Also kannst du erstmal nur für den Fall a>1 auf Konvergenz
> der Ausgangsreihe schließen.
>
> Für [mm]0
> Majorante, aber eine divergente. Da kannst du über das
> Konvergenzverhalten der Ausgangsreihe nix ableiten.
>
> Wenn du eine konvergente Majorante hast, heißt das, dass
> diese Marorante "größer" ist als deine Ausgangsreihe ist
> und dass sie konvergiert, also einen endlichen Wert hat.
>
> Damit hat aber die kleinere Ausgangsreihe auch einen
> endlichen Wert (da kleineren Wert als die Majorante), ist
> also auch konvergent.
>
> Hast du eine Majorante, die divergiert, also einen
> unendlichen Wert hat, so hat die Ausgangsreihe zwar einen
> "kleineren" Wert, der kann aber immer noch unendlich sein,
> die Ausgangsreihe kann divergieren oder konvergieren.
>
> Darum hilft dir eine div. Majorante nix.
Super erklärt, habe alles verstanden :)
> > für [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 + a^n} = \bruch{1}{1 + \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 0} = 1[/mm]
>
> >
> > Demnach ist das notwendige Kriterium, also die Nullfolge,
> > nicht erfüllt und demnach ist Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{1 +a^n}[/mm]
> > für [mm]0
>
> Sehr gut!
>
> Genauso hatte ich mir das gedacht!
Danke, das freut mich :) ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]")
Ich versuche mich mal an einem Fazit.
Ansatz:
-------------------------------------------------------------------
[mm]|\bruch{1}{1+a^n}| = \bruch{1}{1 + a^n} < \bruch{1}{a^n} = (\bruch{1}{a})^n[/mm]
Die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} q^n[/mm] konvergiert für [mm]|q| < 1[/mm], daher konvergiert die gegebene Reihe nach dem Majorantenkriterium mit der Majorante <span class="math">[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{a})^n[/mm] für alle a > 1.
Für [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 +a^n} = \bruch{1}{1+ \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 0} = 1[/mm]
Für a = 1 gilt <span class="math">[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 +a^n} = \bruch{1}{1+ \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 1} = \bruch{1}{2}[/mm]
Da für [mm]0 < a \leq 1[/mm] die Folge der Reihenglieder nicht gegen 0 konvergiert, ist die gegebene Reihe für diese a divergent.
Weil [mm]\bruch{1}{1+a^n} = |\bruch{1}{1+a^n}|[/mm] ist die Reihe für a > 1 absolut konvergent.
-------------------------------------------------------------------
Würde das die volle Punktzahl geben?
Ich habe leider keine Musterlösungen und suche mir die Aufgaben über Google und deswegen habe ich keine Vorstellung und frage nach.
Was die Majorante ist, darf ich nicht weglassen, oder?
Oder kann ich sonst etwas weglassen?
Vielen Dank :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 So 06.01.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> > Auf die Ausgangsreihe.
> >
> > Ich sagte ja, dass diese geometrische Reihe
> > [mm]\sum\frac{1}{a^n}[/mm] für jedes [mm]a>0[/mm] eine Majorante zu der
> > AUsgangsreihe ist, aber diese Majorante ist nur für a>1
> > konvergent.
> >
> > Also kannst du erstmal nur für den Fall a>1 auf Konvergenz
> > der Ausgangsreihe schließen.
> >
> > Für [mm]0
> > Majorante, aber eine divergente. Da kannst du über das
> > Konvergenzverhalten der Ausgangsreihe nix ableiten.
> >
> > Wenn du eine konvergente Majorante hast, heißt das, dass
> > diese Marorante "größer" ist als deine Ausgangsreihe ist
> > und dass sie konvergiert, also einen endlichen Wert hat.
> >
> > Damit hat aber die kleinere Ausgangsreihe auch einen
> > endlichen Wert (da kleineren Wert als die Majorante), ist
> > also auch konvergent.
> >
> > Hast du eine Majorante, die divergiert, also einen
> > unendlichen Wert hat, so hat die Ausgangsreihe zwar einen
> > "kleineren" Wert, der kann aber immer noch unendlich sein,
> > die Ausgangsreihe kann divergieren oder konvergieren.
> >
> > Darum hilft dir eine div. Majorante nix.
>
> Super erklärt, habe alles verstanden :)
>
> > > für [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 + a^n} = \bruch{1}{1 + \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 0} = 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > Demnach ist das notwendige Kriterium, also die Nullfolge,
> > > nicht erfüllt und demnach ist Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{1 +a^n}[/mm]
> > > für [mm]0
> >
> > Sehr gut!
> >
> > Genauso hatte ich mir das gedacht!
>
> Danke, das freut mich :)
>
> Ich versuche mich mal an einem Fazit.
>
> Ansatz:
>
> -------------------------------------------------------------------
>
> [mm]|\bruch{1}{1+a^n}| = \bruch{1}{1 + a^n} < \bruch{1}{a^n} = (\bruch{1}{a})^n[/mm]
>
> Die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} q^n[/mm]
> konvergiert für <span class="math">[mm]|q| < 1[/mm], daher
> konvergiert die gegebene Reihe nach dem Majorantenkriterium
> mit der Majorante <span class="math">[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{a})^n[/mm]
> für alle a > 1.</span>
> </span>
> Für [mm]0 < a < 1[/mm] gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 +a^n} = \bruch{1}{1+ \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 0} = 1[/mm]
>
> Für a = 1 gilt <span
> class="math">[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 +a^n} = \bruch{1}{1+ \limes_{n\rightarrow\infty} a^n} = \bruch{1}{1 + 1} = \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Da für <span class="math">[mm]0 < a \leq 1[/mm] die Folge der
> Reihenglieder nicht gegen 0 konvergiert, ist die gegebene
> Reihe für diese a divergent.
>
> Weil <span class="math">[mm]\bruch{1}{1+a^n} = |\bruch{1}{1+a^n}|[/mm]
> ist die Reihe für a > 1 absolut konvergent.
>
> -------------------------------------------------------------------
>
> Würde das die volle Punktzahl geben?
Ja, alles bestens
> Ich habe leider keine Musterlösungen und suche mir die
> Aufgaben über Google und deswegen habe ich keine
> Vorstellung und frage nach.
>
> Was die Majorante ist, darf ich nicht weglassen, oder?
Natürlich nict !
> Oder kann ich sonst etwas weglassen?
Nein.
FRED
>
> Vielen Dank :)
>
> </span></span></span>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 So 06.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
<span <br="">Guten Abend, FRED :)
> > Würde das die volle Punktzahl geben?
>
> Ja, alles bestens
Super, dankeschön :)
</span>Noch einmal ein Dankeschön an alle Helfer!
|
|
|
|
