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| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz mit Hilfe des Majorantenkriteriums:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1} [/mm] |
Hallo,
ich wage einen neuen Versuch, das Majorantenkriterium korrekt anzuwenden. Nachdem der Stoff nun etwas gesackt ist, bin ich optimistisch an die Aufgabe herangegangen und es lief ganz gut. Ich hoffe ihr könnt mir bestätigen, dass ich keinen Unfug gerechnet habe:
Schritt 1)
Majorantenkriterium definieren
Die vorliegende Reihe [mm] a_{n} [/mm] konvergiert, wenn die Vergleichsreihe [mm] b_{n} [/mm] konvergiert. Es gilt: [mm] a_{n} \le b_{n}.
[/mm]
Schritt 2)
Umstellen der Folge [mm] a_{n}=\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}=(-1)^{k}*\bruch{k}{k^{3}+1}=(-1)^{k}*\bruch{1}{k^{2}+\bruch{1}{k}}
[/mm]
Schritt 3)
Vergleichsreihe [mm] b_{n} [/mm] aufstellen
Für alle k [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \ge [/mm] 2 gilt
[mm] (-1)^{k}*\bruch{1}{k^{2}+\bruch{1}{k}} \le \bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
Zur Veranschaulichung/Probe:
k=2
[mm] \bruch{1}{4,5} \le \bruch{1}{4}
[/mm]
k=3
[mm] -\bruch{1}{9+\bruch{1}{3}} \le \bruch{1}{9}
[/mm]
k=4
[mm] \bruch{1}{16+\bruch{1}{4}} \le \bruch{1}{16}
[/mm]
(...)
Schritt 4)
Beweis formulieren
Aufgrund der Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] (Vergleich zur harmonische Reihe), konvergiert auch die vorliegende Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}.
[/mm]
Gruß, Andreas
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Hallo Andreas,
> Untersuchen Sie auf Konvergenz mit Hilfe des
> Majorantenkriteriums:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich wage einen neuen Versuch, das Majorantenkriterium
> korrekt anzuwenden. Nachdem der Stoff nun etwas gesackt
> ist, bin ich optimistisch an die Aufgabe herangegangen und
> es lief ganz gut. Ich hoffe ihr könnt mir bestätigen,
> dass ich keinen Unfug gerechnet habe:
>
> Schritt 1)
>
> Majorantenkriterium definieren
>
> Die vorliegende Reihe [mm]a_{n}[/mm] konvergiert, wenn die
> Vergleichsreihe [mm]b_{n}[/mm] konvergiert. Es gilt: [mm]a_{n} \le b_{n}.[/mm]
>
>
> Schritt 2)
>
> Umstellen der Folge [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}=(-1)^{k}*\bruch{k}{k^{3}+1}=(-1)^{k}*\bruch{1}{k^{2}+\bruch{1}{k}}[/mm]
>
>
> Schritt 3)
>
> Vergleichsreihe [mm]b_{n}[/mm] aufstellen
>
> Für alle k [mm]\in \IN,[/mm] k [mm]\ge[/mm] 2 gilt
>
> [mm](-1)^{k}*\bruch{1}{k^{2}+\bruch{1}{k}} \le \bruch{1}{k^{2}}[/mm]
>
> Zur Veranschaulichung/Probe:
>
> k=2
>
> [mm]\bruch{1}{4,5} \le \bruch{1}{4}[/mm]
>
> k=3
>
> [mm]-\bruch{1}{9+\bruch{1}{3}} \le \bruch{1}{9}[/mm]
>
> k=4
>
> [mm]\bruch{1}{16+\bruch{1}{4}} \le \bruch{1}{16}[/mm]
>
> (...)
>
>
> Schritt 4)
>
> Beweis formulieren
>
> Aufgrund der Konvergenz von
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}}[/mm] (Vergleich zur
> harmonische Reihe), konvergiert auch die vorliegende Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}.[/mm]
>
Das sieht alles gut aus, ist aber hier nicht notwendig. Die Konvergenz würde hier schon per Leibniz-Kriterium folgen, wenn man jetzt noch auf die Beträge der Summanden das Majorantenkriterium loslässt, dann hat man sogar absolute Konvergenz gezeigt. Kann es sein, dass dies auch der eigentlich verlangt ist?
Das mit der Probe ist ja schön und gut, hilft aber ja nicht weiter. Wenn dir die Majorante klar ist (und das ist sie hier), dann musst du dafür keine Probe machen, wozu auch?
Den Hinweis hganz am Ende mit der Harmonischen Reihe verstehe ich nicht.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
> Das sieht alles gut aus, ist aber hier nicht notwendig. Die
> Konvergenz würde hier schon per Leibniz-Kriterium folgen,
> wenn man jetzt noch auf die Beträge der Summanden das
> Majorantenkriterium loslässt, dann hat man sogar absolute
> Konvergenz gezeigt. Kann es sein, dass dies auch der
> eigentlich verlangt ist?
In der Aufgabe steht "Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten m. H. des Majorantenkriteriums. Da habe ich ehrlich gesagt, nicht an das Leibnizkriterium gedacht, obwohl es mir bei [mm] (-1)^{k} [/mm] hätte auffallen müssen.
>
> Das mit der Probe ist ja schön und gut, hilft aber ja
> nicht weiter. Wenn dir die Majorante klar ist (und das ist
> sie hier), dann musst du dafür keine Probe machen, wozu
> auch?
Ok, ich werde sie in Zukunft weglassen.
> Den Hinweis hganz am Ende mit der Harmonischen Reihe
> verstehe ich nicht.
Muss ich mich nicht i.d.R. auf eine Reihe beziehen, deren Konvergenz/Divergenz allgemein bekannt ist? Ich denke da an geometrische/harmonische Reihe.
Gruß, Andreas
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Hallo Andreas,
> In der Aufgabe steht "Untersuchen Sie das
> Konvergenzverhalten m. H. des Majorantenkriteriums. Da habe
> ich ehrlich gesagt, nicht an das Leibnizkriterium gedacht,
> obwohl es mir bei [mm](-1)^{k}[/mm] hätte auffallen müssen.
>
Na ja, da ist halt unter dem Oberbegriff Konvergenzverhalten auch die absolute Konvergenz enthalten.
> > Den Hinweis hganz am Ende mit der Harmonischen Reihe
> > verstehe ich nicht.
>
> Muss ich mich nicht i.d.R. auf eine Reihe beziehen, deren
> Konvergenz/Divergenz allgemein bekannt ist? Ich denke da an
> geometrische/harmonische Reihe.
Unter der Harmonischen Reihe versteht man die Reihe
[mm]h_n= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} [/mm]
und die ist divergent. Man kann sie daher vielmals als divergente Minorante verwenden, aber als Majorante taugt sie nicht.
Die Reihe, welche du meinst:
[mm]h_n= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} [/mm]
besitzt meiner Kenntnis nach keinen speziellen Namen, außer dass sie natürlich ein Funktionswert der Riemanschen Zetafunktion ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, danke!
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 So 12.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie auf Konvergenz mit Hilfe des
> Majorantenkriteriums:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich wage einen neuen Versuch, das Majorantenkriterium
> korrekt anzuwenden. Nachdem der Stoff nun etwas gesackt
> ist, bin ich optimistisch an die Aufgabe herangegangen und
> es lief ganz gut. Ich hoffe ihr könnt mir bestätigen,
> dass ich keinen Unfug gerechnet habe:
>
> Schritt 1)
>
> Majorantenkriterium definieren
Definieren ??????
>
> Die vorliegende Reihe [mm]a_{n}[/mm] konvergiert, wenn die
> Vergleichsreihe [mm]b_{n}[/mm] konvergiert. Es gilt: [mm]a_{n} \le b_{n}.[/mm]
Nein, so lautet das Kriterium nicht ! Reihe , Folge ??? Da gehts durcheinander ! Wirds Dir übel bei Beträgen ?
Gilt [mm]|a_{n}| \le b_{n}[/mm] für fast alle n und ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] konvergent, so ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] absolut konvergent.
>
>
> Schritt 2)
>
> Umstellen der Folge [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}[/mm]
Wozu ?
>
> [mm]\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}=(-1)^{k}*\bruch{k}{k^{3}+1}=(-1)^{k}*\bruch{1}{k^{2}+\bruch{1}{k}}[/mm]
[mm] |\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}|=\bruch{k}{k^{3}+1} \le \bruch{k}{k^{3}}=\bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
>
>
> Schritt 3)
>
> Vergleichsreihe [mm]b_{n}[/mm] aufstellen
>
> Für alle k [mm]\in \IN,[/mm] k [mm]\ge[/mm] 2 gilt
>
> [mm](-1)^{k}*\bruch{1}{k^{2}+\bruch{1}{k}} \le \bruch{1}{k^{2}}[/mm]
S. o. Beträge !!!!!!
FRED
>
> Zur Veranschaulichung/Probe:
>
> k=2
>
> [mm]\bruch{1}{4,5} \le \bruch{1}{4}[/mm]
>
> k=3
>
> [mm]-\bruch{1}{9+\bruch{1}{3}} \le \bruch{1}{9}[/mm]
>
> k=4
>
> [mm]\bruch{1}{16+\bruch{1}{4}} \le \bruch{1}{16}[/mm]
>
> (...)
>
>
> Schritt 4)
>
> Beweis formulieren
>
> Aufgrund der Konvergenz von
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}}[/mm] (Vergleich zur
> harmonische Reihe), konvergiert auch die vorliegende Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*k}{k^{3}+1}.[/mm]
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> Gruß, Andreas
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