Majorantenkriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] f_{n} [/mm] : D [mm] \to \IC [/mm] Funktionen für n [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Dann konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} f_{n} [/mm] gleichmäßig und absolut auf D.
Beweis:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ,d.h. die Reihe konvergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty) [/mm] ,d.h. [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N : [mm] \summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow \forall m\ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] N : [mm] ||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig. |
Ich versteh den Beweis leider nicht ganz. Kann mir jemand helfen?
[mm] "\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ,d.h. die Reihe konvergiert " Warum folgt das?
[mm] "\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)" [/mm] Gilt das, weil die Reihe konvergiert?
[mm] "\forall m\ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] N : [mm] ||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig." Das m wähle ich doch einfach nur [mm] \ge [/mm] k damit die Summe existiert und damit die zweite Ungleichung stimmt, da ich ja oben "< [mm] \varepsilon" [/mm] sogar für "bis [mm] \infty" [/mm] gezeigt habe und damit ich ganz zum Schluss das Cauchy-Kriterium anwenden kann, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mi 17.02.2010 | | Autor: | nooschi |
> Seien [mm]f_{n}[/mm] : D [mm]\to \IC[/mm] Funktionen für n [mm]\in \IN[/mm] mit:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] < [mm]\infty.[/mm] Dann
> konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f_{n}[/mm] gleichmäßig und
> absolut auf D.
>
> Beweis:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] < [mm]\infty[/mm] ,d.h.
> die Reihe konvergiert [mm]\Rightarrow \summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to[/mm]
> 0 (k [mm]\to \infty)[/mm] ,d.h. [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N
> [mm]\in \IN \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] N : [mm]\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \Rightarrow \forall m\ge[/mm] k [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n}[/mm]
> konvergiert gleichmäßig.
> Ich versteh den Beweis leider nicht ganz. Kann mir jemand
> helfen?
>
> [mm]"\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] < [mm]\infty[/mm] ,d.h.
> die Reihe konvergiert " Warum folgt das?
weil die Folge [mm]s_k=\summe_{n=1}^{k} ||f_{n}||_{\infty} < \infty[/mm] monoton wachsend (Normen sind immer [mm] $\ge [/mm] 0$) und beschränkt ist [mm] \Rightarrow [/mm] konvergent.
> [mm]"\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} \to 0 (k \to \infty)"[/mm]
> Gilt das, weil die Reihe konvergiert?
Ja, da benutzt du am besten das "Cauchy-Kriterium für Reihen", also du weisst, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}[/mm] konvergiert, also muss es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ein [mm] n_{\epsilon} [/mm] geben, sodass [mm]\summe_{k=m+1}^{n} ||f_{k}||_{\infty}<\epsilon\ \ \ \forall n>m>n_\epsilon[/mm]
damit hast du ja schon, was du als nächstes brauchst
ah, was natürlich auch geht (damit man auch schön auf das [mm] \infty [/mm] kommt):
du weisst, dass [mm]\sum_{n=1}^{k-1}||f_{n}||_{\infty}\rightarrow\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty} (k\rightarrow\infty)[/mm]
d.h. [mm]\summe_{n=k}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}= |\summe_{n=1}^{\infty} ||f_{n}||_{\infty}-\sum_{n=1}^{k-1}||f_{n}||_{\infty}|\rightarrow 0 (k\rightarrow\infty)[/mm]
> [mm]"\forall m\ge[/mm] k [mm]\ge[/mm] N : [mm]||\summe_{n=k}^{m} f_{n}||_{\infty} \le \summe_{n=k}^{m} ||f_{n}||_{\infty}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} f_{n}[/mm]
> konvergiert gleichmäßig." Das m wähle ich doch einfach
> nur [mm]\ge[/mm] k damit die Summe existiert und damit die zweite
> Ungleichung stimmt, da ich ja oben "< [mm]\varepsilon"[/mm] sogar
> für "bis [mm]\infty"[/mm] gezeigt habe und damit ich ganz zum
> Schluss das Cauchy-Kriterium anwenden kann, oder?
ja
(ich bin mir bei meiner Antwort nicht 100% sicher, deshalb setzte ich sie nur auf halb beantwortet)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 19.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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