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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe mittels Majoranten/Minoranten-Kriterium auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^\infty [/mm] = [mm] \bruch{1}{k(k+2)} [/mm] |
Mir ist dabei nicht ganz klar, wie ich am besten eine geeignete Reihe finde, die konvergiert, und bei der alle [mm] a_{k} [/mm] > als [mm] b_{k} [/mm] sind, sodass die zu untersuchende Reihe konvergent ist.
Die Beispielsreihe [mm] \bruch{1}{k^3} [/mm] ist konvergent, da [mm] \bruch{1}{k(k+2)} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k^3} [/mm] für alle k >= 1 gilt ist somit auch die zu untersuchende Reihe konvergent? Irgendwie scheint mir diese 'Beweisführung' nicht formal genug bzw. nicht hinreichend, weiß jedoch nicht wie ich sonst zu einer geeigneten Reihe komme.
Bin für jeden Tipp diesbezüglich dankbar!
Beste Grüße, Christian
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Ups, da ist mir wohl ein Fauxpas unterlaufen, dummer Fehler.
Sehe ich dass richtig dass es heißen sollte:
[mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{1}{k(k+2)}=\summe_{k=1}^\infty\bruch{1}{k^2+2k}\le \summe_{k=1}^\infty\bruch{1}{k^2} [/mm]
Weil [mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergent ist ist also [mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{1}{k(k+2)} [/mm] auch konvergent weil <= gilt.
Wenn die Angabe hingegen [mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{1}{\wurzel(x)} [/mm] ist ist es automatisch divergent, weil das 's' <= 1 ist, in dem fall [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
für alle k >= 1 gilt ist ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
[mm] \text{du vergrößerst doch den Nenner und verkleinerst damit den Bruch also} \bruch{1}{k(k+2)} \ge \bruch{1}{k^3}
[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
darum heißt es ja konvergente Majorante 