Mächtigkeit U+v < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Fr 27.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Sei V ein R-Vektorraum, und sei v [mm] \in [/mm] V. Weweisen Sie, dass es genau einen Unterraum U von V gibt, sodass v+U nur ein Element hat. |
Hallo Forum,
zu dieser Aufgabe ist eigentlich klar, daß es sich hier nur um den Unterraum U bestehend nur aus dem Nullelement handeln kann. Dann ist U+v nur die Menge v.
Ich versuche mal meine Gedanken in geeignete Form zu bringen:
U+v addiert zu jedem u [mm] \in [/mm] U den Vektor v. Dadurch wird die Mächtigkeit nicht verändert. Es gilt also: |U+v|=|U|
Es muß also gelten |U+v|=|U|=1, der Unterraum soll also nur aus einem Element bestehen. Da nach den Unterraumkriterien ein Unterraum eines Vektorraumes aus minimal dem Nullelement des Vektorraumes bestehen muß, so ist U:={0} und damit v+U:={(0+v)}={(v)}
Da es nur ein Nullelement in V gibt, so kann es auch nur eine Unterraum geben, der |U+v|=|U|=1 erfüllt.
Wäre schön, wenn jemand da mal guckt, ob meine Argumentation plausibel ist.
Danke,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Fr 27.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist, wenn U={(v)} ? was ist dann U+v Aber ich vverstehe nicht, was mit einem "Element" gemeint ist- denn U enthält ja immer 0 und v
falls v nicht in U ist deine Argumentation richtig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Fr 27.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Leduart,
ich habe vergessen zu erwähnen, daß die Aufgabe im Zusammenhang mit Äquivalenzrelationen gestellt wurde. Dazu ist v [mm] \in V\setminus [/mm] U.
Ich hoffe ich habe mich jetzt klarer ausgedrückt.
Grüße,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Fr 27.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ich habe vergessen zu erwähnen, daß die Aufgabe im
> Zusammenhang mit Äquivalenzrelationen gestellt wurde. Dazu
> ist v [mm]\in V\setminus[/mm] U.
Hier hast du dich wohl vertan:
Im Falle $v=0$ (der ja in der Aufgabenstellung nicht ausgeschlossen ist) gilt sehr wohl [mm] $v\in [/mm] U$ für den eindeutig bestimmten Unterraum $U$ von $V$, für den $v+U$ nur ein Element enthält (nämlich [mm] $U=\{0\}$).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Fr 27.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart,
leider kann ich deinen Gedanken nicht wirklich folgen.
> was ist, wenn U={(v)} ?
Ich gehe davon aus, $U$ soll der eindeutig bestimmte Unterraum von $V$, für den $v+U$ nur ein Element enthält, sein (also [mm] $U=\{0\}$). [/mm] Dann ist [mm] $U=\{v\}$ [/mm] genau dann, wenn $v=0$.
Aber warum interessiert dich dieser Sonderfall?
> was ist dann U+v
Dann ist [mm] $U+v=\{0\}+0=\{0\}$.
[/mm]
> Aber ich
> vverstehe nicht, was mit einem "Element" gemeint ist- denn
> U enthält ja immer 0 und v
Nein, nur im Falle $v=0$ enthält $U$ den Vektor $v$.
> falls v nicht in U ist deine Argumentation richtig.
Ich sehe nicht, wo in Michas Argumentation [mm] $v\notin [/mm] U$ benötigt werden soll.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 27.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Micha,
was du schreibst, ist richtig, nur nicht immer formal sauber und noch sehr ungeordnet.
> Sei V ein R-Vektorraum, und sei v [mm]\in[/mm] V. Weweisen Sie, dass
> es genau einen Unterraum U von V gibt, sodass v+U nur ein
> Element hat.
Zwei Dinge sind zu beweisen:
1. Es gibt höchstens einen Unterraum $U$ von $V$, so dass $v+U$ nur ein Element hat.
2. Es gibt mindestens einen Unterraum $U$ von $V$, so dass $v+U$ nur ein Element hat.
> zu dieser Aufgabe ist eigentlich klar, daß es sich hier
> nur um den Unterraum U bestehend nur aus dem Nullelement
> handeln kann. Dann ist U+v nur die Menge v.
Die Menge [mm] $\{v\}$ [/mm] meinst du am Ende.
> Ich versuche mal meine Gedanken in geeignete Form zu
> bringen:
>
> U+v addiert zu jedem u [mm]\in[/mm] U den Vektor v.
Was meinst du hier mit $U$? Vermutlich einen beliebigen Unterraum von $V$?
Eine Menge addiert nicht...  Eine Menge kann höchstens gewisse Summen als Elemente enthalten.
> Dadurch wird die
> Mächtigkeit nicht verändert.
> Es gilt also: |U+v|=|U|
Kennt ihr schon den Begriff der Mächtigkeit einer beliebigen (nicht notwendigerweise endlichen) Menge?
Warum gilt $|U+v|=|U|$? Vielleicht könnte man [mm] $|U+v|\le|U|$ [/mm] als halbwegs "klar" ansehen. Aber vielleicht enthält $U+v$ ja weniger Elemente als $U$? (Tatsächlich kann letzteres nicht sein. Aber das muss man erst einmal beweisen.)
Offensichtlich startest du nun mit dem Nachweis von 1.
> Es muß also gelten |U+v|=|U|=1,
wenn $v+U$ nur ein Element hat.
> der Unterraum soll also
> nur aus einem Element bestehen. Da nach den
> Unterraumkriterien ein Unterraum eines Vektorraumes aus
> minimal dem Nullelement des Vektorraumes bestehen muß, so
> ist U:={0}
[mm] $U=\{0\}$ [/mm] (ohne Doppelpunkt) meinst du sicherlich.
Du hast also jetzt einen beliebigen Unterraum $U$ von $V$ hergenommen, für den $v+U$ nur ein Element enthält. Dann hast du gezeigt, dass [mm] $U=\{0\}$ [/mm] gelten muss. Also gibt es maximal einen Unterraum $U$ von $V$, für den $v+U$ nur ein Element enthält. Teil 1. ist also (abgesehen von der fehlenden Begründung für $|U|=|v+U|$) erledigt.
Bleibt noch 2. zu zeigen. Dafür wählst du jetzt sinnvollerweise
> U:={0}
als "Zeugen". Dann gilt
> und damit v+U:={(0+v)}={(v)}
Wieder ist der Doppelpunkt fehl am Platz, denn du definierst hier nichts Neues, sondern schlussfolgerst eine Gleichheit.
Die Klammern um $0+v$ und $v$ würde ich weglassen; sonst besteht die Gefahr, z.B. den Vektor $v$ mit dem Tupel $(v)$ zu verwechseln.
Also enthält $v+U$ wie gewünscht nur ein Element. Damit ist 2. bewiesen.
> Da es nur ein Nullelement in V gibt, so kann es auch nur
> eine Unterraum geben, der |U+v|=|U|=1 erfüllt.
Jetzt bist du plötzlich wieder bei 1.?
Fazit: 2. hast du begründet. Für 1. fehlt noch der Nachweis von $|v+U|=|U|$ für alle Unterräume $U$ von $V$.
Für einen formalen Nachweis von letzterem müsstest du eine Bijektion zwischen den Mengen $U$ und $v+U$ finden (zwei Mengen haben genau dann die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt). Dazu wäre es sinnvoll zu zeigen, dass
[mm] $f\colon U\to v+U,\quad [/mm] f(u)=v+u$
eine (wohldefinierte) Bijektion ist.
Ich schlage dir jedoch eine einfachere Alternative vor, 1. nachzuweisen: Wie bei dir oben gehen wir von einem beliebigen Unterraum $U$ von $V$ aus, so dass $v+U$ nur ein Element enthält. Nun zeigen wir, dass daraus schon [mm] $U=\{0\}$ [/mm] folgt.
Zeigen wir also nacheinander [mm] $U\supseteq\{0\}$ [/mm] und [mm] $U\subseteq\{0\}$. [/mm] Ersteres kriegst du wahrscheinlich selbst hin.
Für den Nachweis von [mm] $U\subseteq\{0\}$ [/mm] sei [mm] $u\in [/mm] U$. Zu zeigen ist [mm] $u\in\{0\}$, [/mm] d.h. $u=0$.
Da $U$ ein Unterraum von $V$ ist, gilt [mm] $0\in [/mm] U$. Also [mm] $v+0\in [/mm] v+U$.
Da [mm] $u\in [/mm] U$ gilt, folgt [mm] $v+u\in [/mm] v+U$.
Da $v+U$ nur ein Element enthält, folgt $v+0=v+u$.
Also?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 27.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Tobias,
erst ein mal vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort. Und ich freu mich, daß ich nicht ganz auf dem Holzweg bin. Ich muß jetzt erst ein mal Punkt für Punkt durch gehen, damit ich nichts vergesse:
> Hallo Micha,
>
>
> was du schreibst, ist richtig, nur nicht immer formal
> sauber und noch sehr ungeordnet.
Ja, das ist mir leider schon öfter aufgefallen. Es ist der Grund, daß ich hier den Austausch suche um irgendwann auch mal formal sauber arbeiten zu können.
>
>
> > Sei V ein R-Vektorraum, und sei v [mm]\in[/mm] V. Weweisen Sie, dass
> > es genau einen Unterraum U von V gibt, sodass v+U nur ein
> > Element hat.
> Zwei Dinge sind zu beweisen:
> 1. Es gibt höchstens einen Unterraum [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm], so dass [mm]v+U[/mm]
> nur ein Element hat.
> 2. Es gibt mindestens einen Unterraum [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm], so dass [mm]v+U[/mm]
> nur ein Element hat.
>
>
> >
> > U+v addiert zu jedem u [mm]\in[/mm] U den Vektor v.
> Was meinst du hier mit [mm]U[/mm]? Vermutlich einen beliebigen
> Unterraum von [mm]V[/mm]?
Richtig. U soll ein Unterraum von V sein.
>
> Eine Menge addiert nicht... Eine Menge kann höchstens
> gewisse Summen als Elemente enthalten.
Ja!
> > Dadurch wird die
> > Mächtigkeit nicht verändert.
> > Es gilt also: |U+v|=|U|
> Kennt ihr schon den Begriff der Mächtigkeit einer
> beliebigen (nicht notwendigerweise endlichen) Menge?
Ja, die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der in ihr enthaltenen Elemente. Bei mir im Script ist dieses folgendermaßen aufgeführt: Die Mächtigkeit der Menge A ist |A|=m somit enthält A die Anzahl von m Elementen. Hoffe das ist so richtig.
>
> Warum gilt [mm]|U+v|=|U|[/mm]? Vielleicht könnte man [mm]|U+v|\le|U|[/mm]
> als halbwegs "klar" ansehen. Aber vielleicht enthält [mm]U+v[/mm]
> ja weniger Elemente als [mm]U[/mm]? (Tatsächlich kann letzteres
> nicht sein. Aber das muss man erst einmal beweisen.)
Ok, ich bin davon ausgegange, daß dieses klar sei und nicht extra bewiesen werden muß. Könnte man nicht so argumentieren:
Sei f eine Abbildung von U nach U+v, die zu jedem Element von U den Vektor v addiert. Dann ist f eine bijektive Abbildung und die Mächtigkeit von |U| und |U+v| muß gleich sein.
>
>
> Offensichtlich startest du nun mit dem Nachweis von 1.
>
> > Es muß also gelten |U+v|=|U|=1,
> wenn [mm]v+U[/mm] nur ein Element hat.
>
> > der Unterraum soll also
> > nur aus einem Element bestehen. Da nach den
> > Unterraumkriterien ein Unterraum eines Vektorraumes aus
> > minimal dem Nullelement des Vektorraumes bestehen muß, so
> > ist U:={0}
> [mm]U=\{0\}[/mm] (ohne Doppelpunkt) meinst du sicherlich.
Danke, merke ich mir, also mit =: definiere ich etwas neues. Danke, war mir bis jetzt nicht so bewußt.
>
> Du hast also jetzt einen beliebigen Unterraum [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm]
> hergenommen, für den [mm]v+U[/mm] nur ein Element enthält. Dann
> hast du gezeigt, dass [mm]U=\{0\}[/mm] gelten muss. Also gibt es
> maximal einen Unterraum [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm], für den [mm]v+U[/mm] nur ein
> Element enthält. Teil 1. ist also (abgesehen von der
> fehlenden Begründung für [mm]|U|=|v+U|[/mm]) erledigt.
>
> Bleibt noch 2. zu zeigen. Dafür wählst du jetzt
> sinnvollerweise
> > U:={0}
> als "Zeugen". Dann gilt
> > und damit v+U:={(0+v)}={(v)}
> Wieder ist der Doppelpunkt fehl am Platz, denn du
> definierst hier nichts Neues, sondern schlussfolgerst eine
> Gleichheit.
>
> Die Klammern um [mm]0+v[/mm] und [mm]v[/mm] würde ich weglassen; sonst
> besteht die Gefahr, z.B. den Vektor [mm]v[/mm] mit dem Tupel [mm](v)[/mm] zu
> verwechseln.
Ok, (was zum T... ist ein Tuppel) mache ich
>
> Also enthält [mm]v+U[/mm] wie gewünscht nur ein Element. Damit ist
> 2. bewiesen.
>
> > Da es nur ein Nullelement in V gibt, so kann es auch nur
> > eine Unterraum geben, der |U+v|=|U|=1 erfüllt.
> Jetzt bist du plötzlich wieder bei 1.?
>
>
> Fazit: 2. hast du begründet. Für 1. fehlt noch der
> Nachweis von [mm]|v+U|=|U|[/mm] für alle Unterräume [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm].
>
> Für einen formalen Nachweis von letzterem müsstest du
> eine Bijektion zwischen den Mengen [mm]U[/mm] und [mm]v+U[/mm] finden (zwei
> Mengen haben genau dann die gleiche Mächtigkeit, wenn es
> eine Bijektion zwischen ihnen gibt). Dazu wäre es sinnvoll
> zu zeigen, dass
Ach, daran hatte ich oben auch gedacht. Aber du hast recht, es scheint erst ein mal schwerer zu sein, diesen Beweis zu bringen.
>
> [mm]f\colon U\to v+U,\quad f(u)=v+u[/mm]
>
> eine (wohldefinierte) Bijektion ist.
>
> Ich schlage dir jedoch eine einfachere Alternative vor, 1.
> nachzuweisen: Wie bei dir oben gehen wir von einem
> beliebigen Unterraum [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm] aus, so dass [mm]v+U[/mm] nur ein
> Element enthält. Nun zeigen wir, dass daraus schon [mm]U=\{0\}[/mm]
> folgt.
>
> Zeigen wir also nacheinander [mm]U\supseteq\{0\}[/mm] und
> [mm]U\subseteq\{0\}[/mm]. Ersteres kriegst du wahrscheinlich selbst
> hin.
Das könnte ich doch einfach mit den Unterraumkriterien zeigen, oder?
>
> Für den Nachweis von [mm]U\subseteq\{0\}[/mm] sei [mm]u\in U[/mm]. Zu zeigen
> ist [mm]u\in\{0\}[/mm], d.h. [mm]u=0[/mm].
>
> Da [mm]U[/mm] ein Unterraum von [mm]V[/mm] ist, gilt [mm]0\in U[/mm]. Also [mm]v+0\in v+U[/mm].
>
> Da [mm]u\in U[/mm] gilt, folgt [mm]v+u\in v+U[/mm].
>
> Da [mm]v+U[/mm] nur ein Element enthält, folgt [mm]v+0=v+u[/mm].
>
> Also?
ist [mm] v+0=v+u=v [/mm], welches das einzige Element von U+v sein kann.
Hatten wir diese Form den Mengenbeweises nicht bereits gestern?
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Kennt ihr schon den Begriff der Mächtigkeit einer
> > beliebigen (nicht notwendigerweise endlichen) Menge?
>
> Ja, die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der in ihr
> enthaltenen Elemente. Bei mir im Script ist dieses
> folgendermaßen aufgeführt: Die Mächtigkeit der Menge A
> ist |A|=m somit enthält A die Anzahl von m Elementen.
> Hoffe das ist so richtig.
Hier geht es offenbar um die Mächtigkeit einer ENDLICHEN Menge.
Also darfst du genau genommen Dinge wie $|U|$ und $|U+v|$ nur hinschreiben, wenn du schon weißt, dass die Mengen $U$ bzw. $U+v$ endlich sind.
> > Warum gilt [mm]|U+v|=|U|[/mm]? Vielleicht könnte man [mm]|U+v|\le|U|[/mm]
> > als halbwegs "klar" ansehen. Aber vielleicht enthält [mm]U+v[/mm]
> > ja weniger Elemente als [mm]U[/mm]? (Tatsächlich kann letzteres
> > nicht sein. Aber das muss man erst einmal beweisen.)
>
> Ok, ich bin davon ausgegange, daß dieses klar sei und
> nicht extra bewiesen werden muß. Könnte man nicht so
> argumentieren:
>
> Sei f eine Abbildung von U nach U+v, die zu jedem Element
> von U den Vektor v addiert. Dann ist f eine bijektive
> Abbildung und die Mächtigkeit von |U| und |U+v| muß
> gleich sein.
Genau. Warum ist $f$ injektiv?
> > Ich schlage dir jedoch eine einfachere Alternative vor, 1.
> > nachzuweisen: Wie bei dir oben gehen wir von einem
> > beliebigen Unterraum [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm] aus, so dass [mm]v+U[/mm] nur ein
> > Element enthält. Nun zeigen wir, dass daraus schon [mm]U=\{0\}[/mm]
> > folgt.
> >
> > Zeigen wir also nacheinander [mm]U\supseteq\{0\}[/mm] und
> > [mm]U\subseteq\{0\}[/mm]. Ersteres kriegst du wahrscheinlich selbst
> > hin.
>
> Das könnte ich doch einfach mit den Unterraumkriterien
> zeigen, oder?
Ich gehe davon aus, ihr wisst, dass [mm] $0\in [/mm] U'$ für jeden Unterraum $U'$ irgendeines Vektorraumes gilt. Je nach gewählter Unterraum-Definition ist [mm] $0\in [/mm] U'$ selbst ein Unterraum-Kriterium oder eine Folgerung aus den Unterraum-Kriterien.
Wegen [mm] $0\in [/mm] U$ kann man [mm] $U\supseteq\{0\}$ [/mm] als "klar" ansehen oder wie folgt formal begründen:
Sei [mm] $u\in\{0\}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $u\in [/mm] U$.
Wegen [mm] $u\in\{0\}$ [/mm] gilt $u=0$. Da $U$ ein Unterraum von $V$ ist, gilt somit [mm] $u=0\in [/mm] U$.
> > Für den Nachweis von [mm]U\subseteq\{0\}[/mm] sei [mm]u\in U[/mm]. Zu zeigen
> > ist [mm]u\in\{0\}[/mm], d.h. [mm]u=0[/mm].
> >
> > Da [mm]U[/mm] ein Unterraum von [mm]V[/mm] ist, gilt [mm]0\in U[/mm]. Also [mm]v+0\in v+U[/mm].
> > Da [mm]u\in U[/mm] gilt, folgt [mm]v+u\in v+U[/mm].
> >
> > Da [mm]v+U[/mm] nur ein Element enthält, folgt [mm]v+0=v+u[/mm].
> >
> > Also?
> ist [mm]v+0=v+u=v [/mm], welches das einzige Element von U+v sein
> kann.
Das hilft uns leider nicht weiter. Wir sind gerade beim Beweis von [mm] $U\subseteq\{0\}$ [/mm] und müssen $u=0$ zeigen. Bisher haben wir $v+0=v+u$ hergeleitet. Daraus folgt aber wie gewünscht $0=u$ durch Addition von $-v$ auf beiden Seiten der Gleichung.
> Hatten wir diese Form den Mengenbeweises nicht bereits
> gestern?
Ja, das ist eine "Standard-Methode" zum Nachweis der Gleichheit von Mengen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 So 29.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Tobias,
> Hier geht es offenbar um die Mächtigkeit einer ENDLICHEN
> Menge.
>
> Also darfst du genau genommen Dinge wie [mm]|U|[/mm] und [mm]|U+v|[/mm] nur
> hinschreiben, wenn du schon weißt, dass die Mengen [mm]U[/mm] bzw.
> [mm]U+v[/mm] endlich sind.
>
Da klingt erst ein mal logisch, ich denke nur gerade darüber nach, wie sich die Mächtigkeit einer nicht endlichen Menge darstellt. Nur so als Überlegung, wenn ich eine nicht endliche Menge habe und mir ihre Mächtigkeit ansehe, dann muß doch z.B. gelten [mm] |\IZ|=\infty
[/mm]
Vergleiche ich die Mächtigkeit zweier unendlicher Mengen, dann ist ihre Mächtigkeit jeweils unendlich. Da [mm] \infty [/mm] sich nicht ändert, wenn man ein x [mm] \in \IR [/mm] dazu addiert, so kann ich auch keine Aussage über den Unterschied dieser beiden Mengen erwarten.
Sehe ich das so richtig?
> > > Warum gilt [mm]|U+v|=|U|[/mm]? Vielleicht könnte man [mm]|U+v|\le|U|[/mm]
> > > als halbwegs "klar" ansehen. Aber vielleicht enthält [mm]U+v[/mm]
> > > ja weniger Elemente als [mm]U[/mm]? (Tatsächlich kann letzteres
> > > nicht sein. Aber das muss man erst einmal beweisen.)
> >
> > Ok, ich bin davon ausgegange, daß dieses klar sei und
> > nicht extra bewiesen werden muß. Könnte man nicht so
> > argumentieren:
> >
> > Sei f eine Abbildung von U nach U+v, die zu jedem Element
> > von U den Vektor v addiert. Dann ist f eine bijektive
> > Abbildung und die Mächtigkeit von |U| und |U+v| muß
> > gleich sein.
> Genau. Warum ist [mm]f[/mm] injektiv?
Jedes Element des Bildes der Abbildung besitzt genau ein Urbild. Um es mal etwas abseits der Definition auszudrücken, kann ich eine inverse Abbildung [mm] f^{-1} [/mm] definieren, die f aufhebt. Also hierbei wäre [mm] f^{-1} [/mm] die Abbildung von U+v nach U, die von jedem Element von U+v ein v abzieht.
Wenn ich das richtig sehe, dann gilt [mm] f^{-1}(f(u))=u [/mm] nur für eine injektive Abbildung, was dann auch der Schritt wäre, um die Injektivität von f zu zeigen.
>
> > > Ich schlage dir jedoch eine einfachere Alternative vor, 1.
> > > nachzuweisen: Wie bei dir oben gehen wir von einem
> > > beliebigen Unterraum [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm] aus, so dass [mm]v+U[/mm] nur ein
> > > Element enthält. Nun zeigen wir, dass daraus schon [mm]U=\{0\}[/mm]
> > > folgt.
> > >
> > > Zeigen wir also nacheinander [mm]U\supseteq\{0\}[/mm] und
> > > [mm]U\subseteq\{0\}[/mm]. Ersteres kriegst du wahrscheinlich selbst
> > > hin.
> >
> > Das könnte ich doch einfach mit den Unterraumkriterien
> > zeigen, oder?
> Ich gehe davon aus, ihr wisst, dass [mm]0\in U'[/mm] für jeden
> Unterraum [mm]U'[/mm] irgendeines Vektorraumes gilt. Je nach
> gewählter Unterraum-Definition ist [mm]0\in U'[/mm] selbst ein
> Unterraum-Kriterium oder eine Folgerung aus den
> Unterraum-Kriterien.
>
> Wegen [mm]0\in U[/mm] kann man [mm]U\supseteq\{0\}[/mm] als "klar" ansehen
> oder wie folgt formal begründen:
>
> Sei [mm]u\in\{0\}[/mm]. Zu zeigen ist [mm]u\in U[/mm].
> Wegen [mm]u\in\{0\}[/mm] gilt
> [mm]u=0[/mm]. Da [mm]U[/mm] ein Unterraum von [mm]V[/mm] ist, gilt somit [mm]u=0\in U[/mm].
>
> > > Für den Nachweis von [mm]U\subseteq\{0\}[/mm] sei [mm]u\in U[/mm]. Zu zeigen
> > > ist [mm]u\in\{0\}[/mm], d.h. [mm]u=0[/mm].
> > >
> > > Da [mm]U[/mm] ein Unterraum von [mm]V[/mm] ist, gilt [mm]0\in U[/mm]. Also [mm]v+0\in v+U[/mm].
>
> > > Da [mm]u\in U[/mm] gilt, folgt [mm]v+u\in v+U[/mm].
> > >
> > > Da [mm]v+U[/mm] nur ein Element enthält, folgt [mm]v+0=v+u[/mm].
> > >
> > > Also?
> > ist [mm]v+0=v+u=v [/mm], welches das einzige Element von U+v
> sein
> > kann.
> Das hilft uns leider nicht weiter. Wir sind gerade beim
> Beweis von [mm]U\subseteq\{0\}[/mm] und müssen [mm]u=0[/mm] zeigen. Bisher
> haben wir [mm]v+0=v+u[/mm] hergeleitet. Daraus folgt aber wie
> gewünscht [mm]0=u[/mm] durch Addition von [mm]-v[/mm] auf beiden Seiten der
> Gleichung.
Stimmt, da habe ich absoluten Blödsinn geschrieben. Richtig, wir wollen u=0 zeigen und haben:
v+0=v+u | -v
0=u
Ach und noch etwas, ich freu mich sehr, hab meine Klausur bestanden, was sicherlich auch ein Verdienst dieses Forums ist. Die Konversation hier im Forum bringt enorm etwas für mein Verständnis.
Danke!
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 29.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Hier geht es offenbar um die Mächtigkeit einer ENDLICHEN
> > Menge.
> >
> > Also darfst du genau genommen Dinge wie [mm]|U|[/mm] und [mm]|U+v|[/mm] nur
> > hinschreiben, wenn du schon weißt, dass die Mengen [mm]U[/mm] bzw.
> > [mm]U+v[/mm] endlich sind.
> >
> Da klingt erst ein mal logisch, ich denke nur gerade
> darüber nach, wie sich die Mächtigkeit einer nicht
> endlichen Menge darstellt. Nur so als Überlegung, wenn ich
> eine nicht endliche Menge habe und mir ihre Mächtigkeit
> ansehe, dann muß doch z.B. gelten [mm]|\IZ|=\infty[/mm]
> Vergleiche ich die Mächtigkeit zweier unendlicher Mengen,
> dann ist ihre Mächtigkeit jeweils unendlich. Da [mm]\infty[/mm]
> sich nicht ändert, wenn man ein x [mm]\in \IR[/mm] dazu addiert, so
> kann ich auch keine Aussage über den Unterschied dieser
> beiden Mengen erwarten.
> Sehe ich das so richtig?
Ja, das ist eine Möglichkeit die Mächtigkeit einer unendlichen Menge zu erklären: Man definiert für alle unendlichen Mengen deren Mächtigkeit durch ein gemeinsames Symbol [mm] $\infty$.
[/mm]
Es ist jedoch üblicher, zwischen verschiedenen unendlichen Mächtigkeiten zu unterscheiden. Siehe dazu das Konzept der ![[]](/images/popup.gif) Kardinalzahlen. Für deren formal saubere Einführung sind jedoch spezielle Vorkenntnisse in Mengenlehre nötig.
> > > Sei f eine Abbildung von U nach U+v, die zu jedem Element
> > > von U den Vektor v addiert. Dann ist f eine bijektive
> > > Abbildung und die Mächtigkeit von |U| und |U+v| muß
> > > gleich sein.
> > Genau. Warum ist [mm]f[/mm] injektiv?
>
> Jedes Element des Bildes der Abbildung besitzt genau ein
> Urbild. Um es mal etwas abseits der Definition
> auszudrücken, kann ich eine inverse Abbildung [mm]f^{-1}[/mm]
> definieren, die f aufhebt. Also hierbei wäre [mm]f^{-1}[/mm] die
> Abbildung von U+v nach U, die von jedem Element von U+v ein
> v abzieht.
> Wenn ich das richtig sehe, dann gilt [mm]f^{-1}(f(u))=u[/mm] nur
> für eine injektive Abbildung, was dann auch der Schritt
> wäre, um die Injektivität von f zu zeigen.
Ja. Denn es gilt: Sei [mm] $g\colon X\to [/mm] Y$ eine Abbildung zwischen irgendwelchen Mengen $X$ und $Y$, so dass es eine Abbildung [mm] $h\colon Y\to [/mm] X$ gibt mit $h(g(x))=x$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$. Dann ist $g$ injektiv.
Beweis: Seien [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $g(x_1)=g(x_2)$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $x_1=x_2$. [/mm] Tatsächlich gilt [mm] $x_1=h(g(x_1))=h(g(x_2))=x_2$.
[/mm]
Mit der Bezeichnung [mm] $f^{-1}$ [/mm] wäre ich etwas vorsichtig. Sie hat eine bereits definierte Bedeutung im Falle $f$ bijektiv. Und die Bijektivität von $f$ willst du ja gerade erst nachweisen. Nenne die Abbildung, die du [mm] $f^{-1}$ [/mm] nennst, also lieber z.B. $h$.
> Ach und noch etwas, ich freu mich sehr, hab meine Klausur
> bestanden, was sicherlich auch ein Verdienst dieses Forums
> ist. Die Konversation hier im Forum bringt enorm etwas für
> mein Verständnis.
Super, schön! 
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