Mächtigkeit, Summe Quadrate < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Fr 21.09.2007 | | Autor: | p.casso |
| Aufgabe | Eine natürliche Zahl v heißt eine Quadratzahl, falls es eine weitere natürliche Zahl u gibt mit [mm] u^{2}=v [/mm] .
Für jedes [mm] n\in\IN [/mm] sei die Menge P(n) wie folgt definiert:
$P(n) := [mm] \{ m \in \IN \* : n^{2} + m^{2} \text{ ist eine Quadratzahl}\}$
[/mm]
1.) $|P(0)| = [mm] \infty$
[/mm]
2.) $|P(1) [mm] \cup [/mm] P(2)| = 0$ |
Hallo zusammen, ich wünsche einen schönen Tag.
Ich brauche einen Tipp. Die Aufgabe an sich habe ich hoffentlich verstanden, nur fehlt mir leider jegliche Beweisidee. Als Hinweis ist gegeben, dass die dritte Binomische Formel sehr nützlich ist. Ob dies hier schon zutrifft kann ich nicht sagen, es gibt noch mehr Teilaufgaben die ich dann hoffentlich selbst lösen kann.
Zu 1.)
Wenn $|P(0)| = [mm] \infty$ [/mm] , folgt doch daraus [mm] 0^{2}+m^{2}=Q(m), [/mm] da [mm] m\in\IN \* [/mm] ist folgt $|P(0)| = [mm] \infty$. [/mm]
Ist dies damit bewiesen?
Zu 2.)
Hier ist ja n immer fix.
Bei P(1) also [mm] $1^{2} [/mm] + [mm] m^{2} [/mm] = 0$
Bei P(2) also [mm] $2^{2} [/mm] + [mm] m^{2} [/mm] = 0$
Somit kommt wohl nie eine Quadratzahl zustande, weil ich sie wohl um +1 bzw. +4 verfehle. Aber wie wird das bewiesen? Tja, und hier ist dann auch Schluss.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Fr 21.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm]P(n) := \{ m \in \IN \* : n^{2} + m^{2} \text{ ist eine Quadratzahl}\}[/mm]
was ist denn [mm] $\mathbb{N} \*$? [/mm] ich nehme mal an, dass sind die positiven natürlichen zahlen, also [mm] $\mathbb{N} \* [/mm] = [mm] \{1, 2, 3, ...\}$? [/mm] und die natürlichen zahlen beginnen bei euch mit der $0$?
> 1.) [mm]|P(0)| = \infty[/mm]
> 2.) [mm]|P(1) \cup P(2)| = 0[/mm]
> Zu 1.)
>
> Wenn [mm]|P(0)| = \infty[/mm] , folgt doch daraus [mm]0^{2}+m^{2}=Q(m),[/mm]
> da [mm]m\in\IN \*[/mm] ist folgt [mm]|P(0)| = \infty[/mm].
nicht wirklich. $|P(0)| = [mm] \infty$ [/mm] ist ja nicht die voraussetzung, sondern das was du zeigen sollst.
überlege dir doch mal, welche natürlichen zahlen $m$ in der menge $P(0)$ liegen, welche also die bedingung: es gibt eine natürliche zahl $k$, so dass [mm] $0^2 [/mm] + [mm] m^2 [/mm] = [mm] k^2$ [/mm] erfüllen? wenn man ein $m [mm] \in \mathbb{N} \*$ [/mm] gegeben hat, wie könnte man dann $k$ wählen, damit die bedingung erfüllt ist?
> Zu 2.)
>
> Hier ist ja n immer fix.
>
> Bei P(1) also [mm]1^{2} + m^{2} = 0[/mm]
> Bei P(2) also [mm]2^{2} + m^{2} = 0[/mm]
>
> Somit kommt wohl nie eine Quadratzahl zustande, weil ich
> sie wohl um +1 bzw. +4 verfehle. Aber wie wird das
> bewiesen? Tja, und hier ist dann auch Schluss.
hier hilft einem die dritte binomische formel und die eindeutige primfaktor zerlegung tatsächlich. zu $P(1)$: also $m$ ist genau dann in $P(1)$, wenn es ein $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt, so dass [mm] $1^2 [/mm] + [mm] m^2 [/mm] = [mm] k^2$, [/mm] also $1 = [mm] k^2 [/mm] - [mm] m^2 [/mm] = (k + m)(k - m)$. nun überlege dir erstmal, dass $k > m$ und dann wieviele möglichkeiten es gibt die $1$ in das produkt aus faktoren $k + m$ und $k - m$ zu zerlegen. genauso geht es bei $P(2)$.
ich hoffe du kommst damit schon weiter, sonst frage nach.
grüße
andreas
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