MacLaurinreihe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Leviatan |
| Aufgabe | Man bestimme die ersten drei Glieder der MacLaurinreihe der Funktion
a) tan x
b) arcsin x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also,...
wir sollen die oben genannte aufgabe lösen. das Verfahren haben wir besprochen.
Hierzu muss man allerdings zunächst die Allgemeine Ableitungsregel für die Funktion finden. Also das (tan (x))' = tan²x+1 ist, ist nicht gesucht, sondern vielmehr f^(n) tan x = ???
also ich hoffe ihr versteht was ich meine. wenn nciht fragt ruhig nach...
wenn es jemand schafft mir zu helfen schenke ich ihm evtl ein schokoeis ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Fr 26.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du sollst doch nur die ersten drei Glieder berechnen, also brauchst du doch lediglich die ersten beiden Ableitungen.
Es gilt ja: [mm] f(x)=\summe_{j=0}^{\infty}{\bruch{f^{(j)}(0)}{j!}*x^{j}}=\bruch{f^{(0)}}{0!}*x^{0}+\bruch{f^{(1)}}{1!}x^{1}+\bruch{f^{(2)}(0)}{2!}x²+...=f(0)+x*f'(0)+x²*\bruch{f''(0)}{2}+...
[/mm]
Also
g(x)=tan(x) [mm] \Rightarrow [/mm] g(0)=0
g'(x)=1+tan²(x)=1+(tan(x))² [mm] \Rightarrow [/mm] g'(0)=1
g''(x)=2(tan(x))*(1+tan²(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] g''(0)=0
[mm] tan(x)=\summe_{j=0}^{\infty}{\bruch{\tan(x)^{(j)}(0)}{j!}*x^{j}}=tan(0)+x*(1+tan²(0))+x²*\bruch{2(tan(x))*(1+tan²(x))}{2}+...
[/mm]
Die ersten beiden Ableitungen von arcsin(x) an der Stelle 0 überlasse ich jetzt dir
Marius
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