(M,o) eine Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Do 10.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Sei n eine natürliche Zahl. Für die Permutation [mm] \tau [/mm] in [mm] S_n [/mm] sei [mm] f_\tau :S_n \to S_n [/mm] definiert durch [mm] f_\tau (\sigma)=\tau \circ \sigma [/mm] für alle [mm] \sigma \in S_n.
[/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] M=\{ f_\tau | \tau \in S_n \} [/mm] mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet. |
Hallo und guten Abend Forum,
Ich konnte ganz gut zeigen, daß ich eine Verknüpfung auf einer nicht lehren Menge habe und in dieser das Assoziativgesetz gilt. Auch das neutrale Element konnte ich bestimmen.
Jetzt komme ich beim Inversen Element nicht weiter.
Es muß ja gelten:
[mm] f_\tau(\sigma) \circ (f_\tau(\sigma))^{-1} [/mm] = id
Ist es dann nicht so, daß ich eigentlich nur zeigen muss, daß [mm] ((f_\tau(\sigma))^{-1} [/mm] eine Element von M ist? Wenn ja, fehlt mir der Rechenweg.
[mm] ((f_\tau(\sigma))^{-1} [/mm] ist doch [mm] \tau^{-1} \circ \sigma^{-1}
[/mm]
Irgendwie komme ich gerade nicht weiter,
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Do 10.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Micha,
> Sei n eine natürliche Zahl. Für die Permutation [mm]\tau[/mm] in
> [mm]S_n[/mm] sei [mm]f_\tau :S_n \to S_n[/mm] definiert durch [mm]f_\tau (\sigma)=\tau \circ \sigma[/mm]
> für alle [mm]\sigma \in S_n.[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass [mm]M=\{ f_\tau | \tau \in S_n \}[/mm] mit der
> Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet.
> Ich konnte ganz gut zeigen, daß ich eine Verknüpfung auf
> einer nicht lehren Menge habe
Hast du auch gezeigt, dass tatsächlich eine Verknüpfung vorliegt, d.h., dass für [mm] $f,g\in [/mm] M$ stets auch [mm] $f\circ g\in [/mm] M$ gilt?
> und in dieser das
> Assoziativgesetz gilt. Auch das neutrale Element konnte ich
> bestimmen.
Wie lautet es denn? (Das benötigen wir natürlich für den Nachweis der Existenz inverser Elemente.)
Ich nenne es jetzt mal $e$.
> Jetzt komme ich beim Inversen Element nicht weiter.
Bei den inversen Elementen meinst du wohl... 
>
> Es muß ja gelten:
>
> [mm]f_\tau(\sigma) \circ (f_\tau(\sigma))^{-1}[/mm] = id
Beachte, dass [mm] $f_\tau(\sigma)$ [/mm] ein Element von [mm] $S_n$ [/mm] und nicht von $M$ ist. Es ist sicherlich schon bekannt, dass [mm] $S_n$ [/mm] mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe mit neutralem Element [mm] $\operatorname{id}_{\{1,\ldots,n\}}$ [/mm] bildet. Somit gilt deine Gleichung.
> Ist es dann nicht so, daß ich eigentlich nur zeigen muss,
> daß [mm]((f_\tau(\sigma))^{-1}[/mm] eine Element von M ist?
Das wird dir nicht gelingen, denn [mm] $(f_\tau(\sigma))^{-1}$ [/mm] ist ein Element von [mm] $S_n$, [/mm] keine Abbildung [mm] $S_n\to S_n$, [/mm] also auch kein Element von $M$.
> [mm]((f_\tau(\sigma))^{-1}[/mm] ist doch [mm]\tau^{-1} \circ \sigma^{-1}[/mm]
Nein.
[mm] $(f_\tau(\sigma))^{-1}=(\tau\circ\sigma)^{-1}=\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}$.
[/mm]
Das alles hatte jetzt aber wenig mit dem zu tun, was eigentlich zu zeigen ist:
Zu zeigen ist, dass für jedes beliebig vorgegebenes Element [mm] $f\in [/mm] M$ ein Element [mm] $g\in [/mm] M$ mit
(*) [mm] $f\circ g=g\circ [/mm] f=e$
gibt.
(*) bedeutet nichts anderes als
(**) [mm] $(f\circ g)(\sigma)=(g\circ f)(\sigma)=e(\sigma)$ [/mm] für alle [mm] $\sigma\in S_n$.
[/mm]
Sei also so ein [mm] $f\in [/mm] M$ vorgegeben. Dann gibt es nach Definition von $M$ ein [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] mit [mm] $f=f_\tau$.
[/mm]
Nun suchen wir [mm] $g\in [/mm] M$ mit (**).
Wer schon etwas erfahrener ist, wird spontan an [mm] $g:=f_{\tau^{-1}}$ [/mm] denken.
Nun gilt es zu prüfen, ob (**) bei dieser Wahl von $g$ wirklich erfüllt ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Do 10.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Tobias,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich glaube, ich habe beim Verständnis der Menge M so meine Probleme.
[mm] f_\tau [/mm] ist (so wie ich es verstehe), eine Abbildung von [mm] S_n [/mm] nach [mm] S_n, [/mm] die nach der Permutation [mm] \sigma [/mm] noch zusätzlich die Permutation [mm] \tau [/mm] ausführt.
M ist dann die Menge aller dieser möglichen Abbildungen.
Man hätte dann also z.B. [mm] f_\tau [/mm] oder [mm] f_{\tau^{-1}} [/mm] oder auch [mm] f_{id}
[/mm]
Verstehe ich das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Fr 11.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich glaube, ich habe beim
> Verständnis der Menge M so meine Probleme.
Dann gut, dass du nachfragst!
> [mm]f_\tau[/mm] ist (so wie ich es verstehe), eine Abbildung von [mm]S_n[/mm]
> nach [mm]S_n,[/mm]
Ja.
> die nach der Permutation [mm]\sigma[/mm] noch zusätzlich
> die Permutation [mm]\tau[/mm] ausführt.
...die jeder Permutation [mm] $\sigma\in S_n$ [/mm] die Permutation zuordnet, die durch Hintereinanderausführung von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] entsteht.
> M ist dann die Menge aller dieser möglichen Abbildungen.
Ja, die Menge der Abbildungen [mm] $f\colon S_n\to S_n$, [/mm] die sich in der Form [mm] $f=f_\tau$ [/mm] für ein [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] schreiben lassen.
> Man hätte dann also z.B. [mm]f_\tau[/mm] oder [mm]f_{\tau^{-1}}[/mm] oder
> auch [mm]f_{id}[/mm]
Ja, für jedes [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] gilt [mm] $f_\tau\in [/mm] M$ und [mm] $f_{\tau^{-1}}\in [/mm] M$. Wenn [mm] $\operatorname{id}$ [/mm] die Identität auf [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] bezeichnet, gilt auch [mm] $f_{\operatorname{id}}\in [/mm] M$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 11.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
> > Ich glaube, ich habe beim
> > Verständnis der Menge M so meine Probleme.
> Dann gut, dass du nachfragst!
>
>
> > [mm]f_\tau[/mm] ist (so wie ich es verstehe), eine Abbildung von [mm]S_n[/mm]
> > nach [mm]S_n,[/mm]
> Ja.
>
> > die nach der Permutation [mm]\sigma[/mm] noch zusätzlich
> > die Permutation [mm]\tau[/mm] ausführt.
> ...die jeder Permutation [mm]\sigma\in S_n[/mm] die Permutation
> zuordnet, die durch Hintereinanderausführung von [mm]\sigma[/mm]
> und [mm]\tau[/mm] entsteht.
Dazu eine letzte Frage, dann würde ich gerne eine Lösung versuchen.
Verstehe ich es richtig, dass dabei das (hier in der Aufgabe) [mm] \sigma [/mm] keineswegs fest ist?
Ich hoffe, ich habe meine Frage verständlich ausgedrückt. Ich möchte das mal mit einem Faktorraum vergleichen. Hier wird ja nun auch nur ein fester Vektor zu einem Unterraum addiert.
Wie bereits geschrieben, ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Fr 11.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > [mm]f_\tau[/mm] ist (so wie ich es verstehe), eine Abbildung von [mm]S_n[/mm]
> > > nach [mm]S_n,[/mm]
> > Ja.
> >
> > > die nach der Permutation [mm]\sigma[/mm] noch zusätzlich
> > > die Permutation [mm]\tau[/mm] ausführt.
> > ...die jeder Permutation [mm]\sigma\in S_n[/mm] die Permutation
> > zuordnet, die durch Hintereinanderausführung von [mm]\sigma[/mm]
> > und [mm]\tau[/mm] entsteht.
>
> Dazu eine letzte Frage, dann würde ich gerne eine Lösung
> versuchen.
> Verstehe ich es richtig, dass dabei das (hier in der
> Aufgabe) [mm]\sigma[/mm] keineswegs fest ist?
So ist es. Es gibt keine ausgezeichnete Permutation [mm] $\sigma$.
[/mm]
(Übrigens gibt es außerhalb der Definition von [mm] $f_\tau$ [/mm] auch keine ausgezeichnete Permutation [mm] $\tau$.)
[/mm]
> Ich hoffe, ich habe meine Frage verständlich ausgedrückt.
Bis hierhin ja...
> Ich möchte das mal mit einem Faktorraum vergleichen. Hier
> wird ja nun auch nur ein fester Vektor zu einem Unterraum
> addiert.
Vielleicht meinst du eine einzelne Nebenklasse eines Unterraumes und nicht einen ganzen Faktorraum?
Mir erscheint dieser Vergleich nicht sonderlich hilfreich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Fr 11.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ups,
... natürlich meinte ich einen Nebenraum.
Vielen Dank für deine Antwort und dein Verständnis.
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Fr 11.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Ich konnte ganz gut zeigen, daß ich eine Verknüpfung auf
> einer nicht lehren Menge habe ...
denke nochmal über die Rechtschreibung hier nach.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Fr 11.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Asche über mein Haupt !
Ach manno, heute ist so ein Tag...
Viele Grüße,
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Fr 11.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ich schreibe mal "nur" den Beginn des Beweises, einfach um mal zu sehen, ob ich auf dem richtigen Weg bin:
Als Voraussetzung ist [mm] (S_n, \circ) [/mm] eine Gruppe, was nicht extra gezeigt wird.
Seien f,g [mm] \in [/mm] M, dann existieren nach der Def. von M [mm] \tau [/mm] und [mm] \sigma \in S_n [/mm] so daß [mm] f=f_\tau [/mm] und [mm] g=g_\sigma [/mm] existieren.
Es ist [mm] f_\tau(\sigma)= \tau \circ \sigma [/mm]
Da [mm] \tau \circ \sigma [/mm] als Komposition von Permutationen ein Element von [mm] S_n [/mm] ist, so existiert auch f und M ist nicht die leere Menge.
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Fr 11.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Seien f,g [mm]\in[/mm] M, dann existieren nach der Def. von M [mm]\tau[/mm]
> und [mm]\sigma \in S_n[/mm] so daß [mm]f=f_\tau[/mm] und [mm]g=g_\sigma[/mm]
[mm] $g=\blue{f}_\sigma$ [/mm] meinst du vermutlich. Dann stimmt es.
Vermutlich möchtest du nun [mm] $f\circ g\in [/mm] M$ zeigen?
Dazu ist ein [mm] $\rho\in S_n$ [/mm] zu finden mit [mm] $f\circ g=f_\rho$ [/mm] (d.h. mit [mm] $(f\circ g)(\pi)=f_\rho(\pi)$ [/mm] für alle [mm] $\pi\in S_n$).
[/mm]
> existieren.
>
> Es ist [mm]f_\tau(\sigma)= \tau \circ \sigma[/mm]
für jedes [mm] $\sigma\in S_n$ [/mm] (und nicht nur für obiges [mm] $\sigma$ [/mm] mit [mm] $g=f_\sigma$)
[/mm]
> Da [mm]\tau \circ \sigma[/mm]
> als Komposition von Permutationen ein
> Element von [mm]S_n[/mm] ist,
...ist [mm] $f_\tau$ [/mm] tatsächlich eine wohldefinierte Abbildung [mm] $S_n\to S_n$.
[/mm]
> so existiert auch f und M ist nicht
> die leere Menge.
Warum ist $M$ nun nicht die leere Menge? Zum Nachweis genügt es, ein konkretes Element [mm] $f\in [/mm] M$ anzugeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Fr 11.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Erst ein mal vielen Dank für deine Geduld. Momentan fällt leider bei mir der Groschen nur pfennigweise.
Ich fasse noch ein mal zusammen, um zu sehen, ob ich das richtig verstanden habe und mache dann mit dem Assoziativgesetz weiter:
Seien f,g [mm] \in [/mm] M, dann existiert nach der Def. von M, [mm] \tau,\sigma \in S_n [/mm] und es ist [mm] f=f_\tau [/mm] und [mm] g=f_\sigma
[/mm]
Sei [mm] p\in S_n, [/mm] zu finden durch [mm] f\circ g=f_p. [/mm] Es ist [mm] (f\circ g)(\pi)=f_p(\pi) [/mm] und sei [mm] f_p(\pi)=h [/mm] für alle [mm] \pi \in S_n. [/mm] Da h [mm] \in [/mm] M ist, ist [mm] \circ [/mm] eine Verknüpfung auf M.
Weiter gilt für jedes [mm] \sigma \in S_n, f_\tau(\sigma)=\tau \circ \sigma. [/mm] Da [mm] (\tau \circ \sigma) [/mm] als Komposition von Permutationen ein Element von [mm] S_n [/mm] ist, ist [mm] f_\tau [/mm] eine wohldefinierte Abbildung von [mm] S_n \to S_n.
[/mm]
Es existiert mit f mindestens ein Element von M, womit M nicht die leere Menge sein kann.
Assoziativgesetz:
Seien f,g,h [mm] \in [/mm] M mit [mm] f=f_\tau_1, g=f_\tau_2, h=f_\tau_3, [/mm] wobei [mm] \tau_1,\tau_2, \tau_3 [/mm] nach Def. von M Elemente von [mm] S_n [/mm] und [mm] \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 [/mm] beliebige Elemente von [mm] S_n [/mm] sind.
[mm] f\circ (g\circ [/mm] h) = [mm] f_\tau_1(\sigma_1)\circ (f_\tau_2(\sigma_2)\circ f_\tau_3(\sigma_3))
[/mm]
= [mm] \tau_1 \circ \sigma_1 \circ (\tau_2 \circ \sigma_2 \circ \tau_3 \circ \sigma_3)
[/mm]
= [mm] \tau_1 \circ \sigma_1 \circ \tau_2 \circ \sigma_2 \circ \tau_3 \circ \sigma_3
[/mm]
= [mm] (\tau_1 \circ \sigma_1 \circ \tau_2 \circ \sigma_2) \circ \tau_3 \circ \sigma_3
[/mm]
[mm] =(f_\tau_1(\sigma_1)\circ f_\tau_2(\sigma_2))\circ f_\tau_1(\sigma_1)
[/mm]
[mm] =(f\circ g)\circ [/mm] h
Es gilt das Assoziativgesetz.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:14 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Wenn du dir ausführlich Gedanken über die Wohldefiniertheit von [mm] $f_\tau$ [/mm] (für [mm] $\tau\in S_n$) [/mm] machen möchtest, ist der Beginn der richtige Ort. Es macht wenig Sinn, erst mit verschiedenen [mm] $f_\tau$ [/mm] herumzuhantieren und erst später festzustellen, dass es sich überhaupt um wohldefinierte Abbildungen handelt. Fangen wir also an mit:
Für jedes [mm] $\tau\in S_n$
[/mm]
> gilt für jedes [mm]\sigma \in S_n, f_\tau(\sigma)=\tau \circ \sigma.[/mm]
> Da [mm](\tau \circ \sigma)[/mm] als Komposition von Permutationen
> ein Element von [mm]S_n[/mm] ist, ist [mm]f_\tau[/mm] eine wohldefinierte
> Abbildung von [mm]S_n \to S_n.[/mm]
> Seien f,g [mm]\in[/mm] M, dann existiert nach der Def. von M,
> [mm]\tau,\sigma \in S_n[/mm] und es ist [mm]f=f_\tau[/mm] und [mm]g=f_\sigma[/mm]
(Sprachliche Kleinigkeit: "so dass" anstelle von "und es ist".)
> Sei [mm]p\in S_n,[/mm] zu finden durch [mm]f\circ g=f_p.[/mm]
Du möchtest [mm] $f\circ g\in [/mm] M$ zeigen. Du musst also zeigen, dass ein [mm] $\rho\in S_n$ [/mm] existiert mit [mm] $f\circ g=f_\rho$ [/mm] Das kannst du am einfachsten tun, indem du ein solches [mm] $\rho\in S_n$ [/mm] angibst.
Es macht keinen Sinn, den Existenznachweis für [mm] $\rho$ [/mm] zu starten mit "Sei [mm] $\rho$ [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft gegeben." Dass es so ein [mm] $\rho$ [/mm] gibt, willst du ja gerade erst nachweisen.
Besser: "Wir wählen [mm] $\rho:=\ldots\in S_n$. [/mm] Dann gilt aus den und den Gründen [mm] $f\circ g=f_\rho\in [/mm] M$."
> Es ist [mm](f\circ g)(\pi)=f_p(\pi)[/mm]
für alle [mm] $\pi\in S_n$ [/mm] und für jedes [mm] $\rho$, [/mm] dass die gewünschte Eigenschaft hat.
Es gilt für alle [mm] $\pi\in S_n$
[/mm]
[mm] $(f\circ g)(\pi)=f(g(\pi))=f_\tau(f_\sigma(\pi))=f_\tau(\sigma\circ\pi)=\tau\circ(\sigma\circ\pi)=(\tau\circ\sigma)\circ\pi$
[/mm]
und (für jedes [mm] $\rho\in S_n$)
[/mm]
[mm] $f_\rho(\pi)=\rho\circ\pi$.
[/mm]
Zur Erinnerung: was wollen wir eigentlich? Ein [mm] $\rho\in S_n$ [/mm] finden mit [mm] $(f\circ g)(\pi)=f_\rho(\pi)$ [/mm] für alle [mm] $\pi\in S_n$, [/mm] also mit [mm] $(\tau\circ\sigma)\circ\pi=\rho\circ\pi$ [/mm] für alle [mm] $\pi\in S_n$.
[/mm]
Da bietet sich [mm] $\rho:=\tau\circ\sigma$ [/mm] an.
Das war jetzt eine Überlegung, wie ein gesuchtes [mm] $\rho$ [/mm] denn aussehen könnte. Für den Existenznachweis von [mm] $\rho$ [/mm] mit [mm] $f\circ g=f_\rho$ [/mm] schreibe einfach nur:
"Wir wählen [mm] $\rho:=\tau\circ\sigma\in S_n$. [/mm] Dann gilt für alle [mm] $\pi\in S_n$
[/mm]
[mm] $(f\circ g)(\pi)=\ldots=f_\rho(\pi)$
[/mm]
und somit [mm] $f\circ g=f_\rho\in [/mm] M$."
Deine Aufgabe ist nun, meine Pünktchen in der mittleren Zeile durch eine schlüssige Rechnung zu ersetzen.
> und sei [mm]f_p(\pi)=h[/mm] für alle [mm]\pi \in S_n.[/mm]
Vermutlich meinst du [mm] $f_\rho=h$.
[/mm]
> Da h [mm]\in[/mm] M ist,
> ist [mm]\circ[/mm] eine Verknüpfung auf M.
> Es existiert mit f mindestens
> ein Element von M, womit M nicht die leere Menge sein
> kann.
Du hast bewiesen: Wann immer man Elemente [mm] $f,g\in [/mm] M$ vorgegeben hat, ist $M$ nicht die leere Menge. Aber vielleicht gibt es ja gar keine Elemente [mm] $f,g\in [/mm] M$? (Es gibt sie schon, aber das gilt es ja gerade erst nachzuweisen.)
Variante 1: Es gilt [mm] $\operatorname{id}_{\{1,\ldots,n\}}\in S_n$. [/mm] Also [mm] $f_{\operatorname{id}_{\{1,\ldots,n\}}}\in [/mm] M$. Also ist $M$ nicht die leere Menge.
Variante 2: Da [mm] $S_n\not=\emptyset$, [/mm] existiert ein [mm] $\pi\in S_n$. [/mm] Für dieses [mm] $\pi$ [/mm] gilt [mm] $f_\pi\in [/mm] M$. Also ist $M$ nicht die leere Menge.
> Assoziativgesetz:
> Seien f,g,h [mm]\in[/mm] M mit [mm]f=f_\tau_1, g=f_\tau_2, h=f_\tau_3,[/mm]
> wobei [mm]\tau_1,\tau_2, \tau_3[/mm] nach Def. von M Elemente von
> [mm]S_n[/mm]
OK.
> und [mm]\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3[/mm] beliebige Elemente von
> [mm]S_n[/mm] sind.
Es macht keinen Sinn, sich drei weitere Elemente von [mm] $S_n$ [/mm] vorgeben zu lassen.
> [mm]f\circ (g\circ[/mm] h) = [mm]f_\tau_1(\sigma_1)\circ (f_\tau_2(\sigma_2)\circ f_\tau_3(\sigma_3))[/mm]
>
> = [mm]\tau_1 \circ \sigma_1 \circ (\tau_2 \circ \sigma_2 \circ \tau_3 \circ \sigma_3)[/mm]
>
> = [mm]\tau_1 \circ \sigma_1 \circ \tau_2 \circ \sigma_2 \circ \tau_3 \circ \sigma_3[/mm]
>
> = [mm](\tau_1 \circ \sigma_1 \circ \tau_2 \circ \sigma_2) \circ \tau_3 \circ \sigma_3[/mm]
>
> [mm]=(f_\tau_1(\sigma_1)\circ f_\tau_2(\sigma_2))\circ f_\tau_1(\sigma_1)[/mm]
>
> [mm]=(f\circ g)\circ[/mm] h
> Es gilt das Assoziativgesetz.
Korrekt ist, dass [mm] $(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ [/mm] h)$ zu zeigen ist.
Bei [mm] $(f\circ g)\circ [/mm] h$ handelt es sich um eine Abbildung [mm] $S_n\to S_n$. [/mm] Zwischen den äußeren beiden Gleichheitszeichen deiner Rechnung stehen jedoch Elemente von [mm] $S_n$. [/mm] Also können die äußeren beiden Gleichheitszeichen nicht stimmen.
(Die anderen Gleichheitszeichen stimmen.)
Wie weist man die Gleichheit zweier Abbildungen [mm] $S_n\to S_n$ [/mm] nach? Indem man zeigt, dass für jedes [mm] $\sigma\in S_n$ [/mm] die Bilder von [mm] $\sigma$ [/mm] unter den beiden Abbildungen übereinstimmen.
Sei also [mm] $\sigma\in S_n$. [/mm] Zu zeigen ist
[mm] $((f\circ g)\circ h)(\sigma)=(f\circ(g\circ h))(\sigma)$.
[/mm]
Rechne dies nach. Dabei brauchst du nur die Definition von [mm] $\circ$ [/mm] und nicht einmal [mm] $f=f_{\tau_1}, g=f_{\tau_2}, h=f_{\tau_3}$.
[/mm]
Grundsätzlich: Elemente [mm] $f_\tau\in [/mm] M$ sind Abbildungen [mm] $S_n\to S_n$. [/mm] Für [mm] $f_\tau\in [/mm] M$ und [mm] $\sigma\in S_n$ [/mm] ist [mm] $f_\tau(\sigma)$ [/mm] hingegen ein Element von [mm] $S_n$.
[/mm]
Gerade wenn die Groschen nur Pfennig-weise fallen, solltest du genau nachfragen, wenn etwas unklar ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo,
ich komme mit den einzelnen Mengen durcheinander. Ich schreibe mal, wie ich diese Verstehe:
Die "unterste Ebene" bilden die Permutationen, die Elemente von [mm] S_n [/mm] sind. Da bekannt ist, daß [mm] (S_n,\circ) [/mm] eine Gruppe ist, darf ich eigentlich nur in dieser rechnen, solange bis ich gezeigt habe, daß bestimmte Eigenschaften in M gelten z.B. [mm] \circ [/mm] eine Verknüpfung auf M ist.
Dann die einzelnen Abbildungen, wie z.B. [mm] f_\tau(\sigma) [/mm] bei [mm] \sigma \in S_n. [/mm] Wobei [mm] f_\tau(\sigma) [/mm] selber nur eine einzelne Abbildung von [mm] S_n \to S_n [/mm] ist.
Schreibt man [mm] f_\tau, [/mm] so ist die Definition aus der Aufgabenstellung gemeint. Also die Menge aller Abbildungen, [mm] f_\tau [/mm] mit [mm] \tau \in S_n. [/mm] Diese sind dann die Elemente von M.
Jetzt verstehe ich nicht warum wir noch ein mal f,g benutzt haben. War das eher um die Vorgehensweise zu verdeutlichen?
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ich komme mit den einzelnen Mengen durcheinander. Ich
> schreibe mal, wie ich diese Verstehe:
>
> Die "unterste Ebene" bilden die Permutationen, die Elemente
> von [mm]S_n[/mm] sind. Da bekannt ist, daß [mm](S_n,\circ)[/mm] eine Gruppe
> ist, darf ich eigentlich nur in dieser rechnen, solange bis
> ich gezeigt habe, daß bestimmte Eigenschaften in M gelten
> z.B. [mm]\circ[/mm] eine Verknüpfung auf M ist.
OK.
> Dann die einzelnen Abbildungen, wie z.B. [mm]f_\tau(\sigma)[/mm] bei
> [mm]\sigma \in S_n.[/mm] Wobei [mm]f_\tau(\sigma)[/mm] selber nur eine
> einzelne Abbildung von [mm]S_n \to S_n[/mm] ist.
Nein, du wirfst immer noch [mm] $f_\tau$ [/mm] und [mm] $f_\tau(\sigma)$ [/mm] durcheinander. [mm] $f_\tau$ [/mm] ist (für jedes [mm] $\tau\in S_n$) [/mm] eine Abbildung [mm] $S_n\to S_n$. [/mm] Demzufolge ist [mm] $f_\tau(\sigma)$ [/mm] der Wert der Abbildung an der Stelle [mm] $\sigma\in S_n$, [/mm] also (da [mm] $f_\tau$ [/mm] eine Abbildung nach [mm] $S_n$ [/mm] ist) ein Element von [mm] $S_n$.
[/mm]
Nochmal in Kurzform:
[mm] $f_\tau\colon S_n\to S_n$
[/mm]
[mm] $f_\tau(\sigma)\in S_n$
[/mm]
> Schreibt man [mm]f_\tau,[/mm] so ist die Definition aus der
> Aufgabenstellung gemeint.
Ja.
> Also die Menge aller Abbildungen,
> [mm]f_\tau[/mm] mit [mm]\tau \in S_n.[/mm] Diese sind dann die Elemente von
> M.
Du meinst es wohl richtig: $M$ ist die Menge aller Abbildungen der Form [mm] $f_\tau$ [/mm] mit [mm] $\tau\in S_n$. [/mm] Die Elemente von $M$ sind gerade diese Abbildungen [mm] $f_\tau$.
[/mm]
> Jetzt verstehe ich nicht warum wir noch ein mal f,g benutzt
> haben. War das eher um die Vorgehensweise zu verdeutlichen?
Um z.B. zu zeigen, dass [mm] $\circ$ [/mm] tatsächlich eine Verknüpfung auf $M$ liefert, ist zu zeigen, dass gilt:
(*) [mm] $f\circ g\in [/mm] M$ für alle [mm] $f,g\in [/mm] M$.
Wegen der speziellen Gestalt von $M$ ist das gleichbedeutend mit
(**) [mm] $f_\tau\circ f_\sigma\in [/mm] M$ für alle [mm] $\tau,\sigma\in S_n$.
[/mm]
Wenn man davon ausgeht, dass (*) zu zeigen ist, finde ich es am natürlichsten, zunächst beliebig vorgegebene [mm] $f,g\in [/mm] M$ zu betrachten und dann erst im nächsten Schritt festzustellen, welche spezielle Gestalt $f$ und $g$ haben (nämlich [mm] $f=f_\tau$ [/mm] für ein [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] und [mm] $g=f_\sigma$ [/mm] für ein [mm] $\sigma\in S_n$).
[/mm]
Geht man dagegen gleich davon aus, dass (**) zu zeigen ist, so könnte man auch direkt beliebig vorgegebene [mm] $\tau,\sigma\in S_n$ [/mm] betrachten und bräuchte $f$ und $g$ gar nicht einzuführen.
Eine auch gebräuchliche Variante, die mir persönlich nicht so gut gefällt, besteht darin, beliebig vorgegebene [mm] $f_\tau,f_\sigma\in [/mm] M$ zu betrachten und dann [mm] $f_\tau\circ f_\sigma\in [/mm] M$ nachzuweisen.
Suche dir die Variante heraus, die dir am besten gefällt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ok, jetzt wird es langsam etwas übersichtlicher.
Ich hab gerade noch eine andere Aufgabe bearbeitet, die ich als viel übersichtlicher ansehe. Da habe ich intuitiv auch ein [mm] r,\overline{r} [/mm] als Elemente eines Ringes benutzt. Dabei sind [mm] r,\overline{r} [/mm] Brüche.
Ich hab also eigentlich so gearbeitet, wie du es auch gezeigt hast.
... und klar, jetzt wo du es schreibst, leuchtet es mir auch ein. [mm] f_\tau(\sigma) [/mm] ist natürlich nur die Berechnung für ein [mm] \in S_n.
[/mm]
Ich mache mich dann mal an die weitere Aufgabe. Wobei ich jetzt bei...
> Deine Aufgabe ist nun, meine Pünktchen in der mittleren Zeile durch eine schlüssige Rechnung zu ersetzen.
erneut einsteige.
Grüße,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab gerade noch eine andere Aufgabe bearbeitet, die ich
> als viel übersichtlicher ansehe. Da habe ich intuitiv auch
> ein [mm]r,\overline{r}[/mm] als Elemente eines Ringes benutzt. Dabei
> sind [mm]r,\overline{r}[/mm] Brüche.
Da kann ich jetzt nicht wirklich folgen, ohne die andere Aufgabe zu kennen.
Aber du hast recht, dass es sich bei der Aufgabe dieses Threads nicht gerade um die übersichtlichste zum Einstieg handelt. Damit dürften viele ihre Probleme haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ich mache dann mal weiter:
Zeige, [mm] \circ [/mm] ist eine Verknüpfung auf M:
Seien f,g [mm] \in [/mm] M, dann existieren nach der Def. von M [mm] \tau,\sigma \in S_n [/mm] so dass [mm] f=f_\tau [/mm] und [mm] g=f_\sigma [/mm] sind.
Wir wählen [mm] p:=\tau \circ \sigma \in S_n. [/mm] Dann gilt für alle [mm] \pi \in S_n
[/mm]
$ (f [mm] \circ g)(\pi)= f(g(\pi))=f_\tau(f_\sigma(\pi))=\tau \circ (\sigma \circ \pi)=(\tau \circ \sigma) \circ \pi [/mm] =p [mm] \circ \pi [/mm] = [mm] f_p(\pi) [/mm] $
Somit ist $(f [mm] \circ g)=f_p \in [/mm] M$ und [mm] \circ [/mm] ist eine Verknüpfung auf $M$
(Ist es aber nicht jetzt auch so, daß man hier Elemente von M auch mit den Elementen von [mm] S_n [/mm] gleichsetzt?)
Zeige, $M $ ist nicht die leere Menge:
Da [mm] $S_n \not= \varnothing$ [/mm] ist, existiert ein [mm] \tau \in S_n. [/mm] Für dieses [mm] \tau [/mm] gilt [mm] $f_\tau \in [/mm] M$. Also ist $M$ nicht die leere Menge.
Zeige, [mm] \circ [/mm] ist in $M$ assoziativ:
Seien $f,g,h [mm] \in [/mm] M$ und sei [mm] \pi \in S_n. [/mm] Zu zeigen ist, dass [mm] $((f\circ [/mm] g) [mm] \circ h)(\pi) [/mm] = (f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h))(\pi)$ [/mm] ist.
Es ist [mm] $((f\circ [/mm] g) [mm] \circ h)(\pi) [/mm] = (f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ (h(\pi))=f \circ (g(h(\pi)))=f(g(h(\pi)))$
[/mm]
und $(f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h))(\pi)=f \circ [/mm] ((g [mm] \circ h)(\pi))=f \circ [/mm] (g [mm] \circ h(\pi))= [/mm] f [mm] \circ (g(h(\pi)))=f(g(h(\pi))) [/mm] $
damit ist [mm] \circ [/mm] in $M$ assoziativ.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Zunächst einmal ein großes Lob! Das ist jetzt sehr schön strukturiert aufgeschrieben!
> Ich mache dann mal weiter:
>
> Zeige, [mm]\circ[/mm] ist eine Verknüpfung auf M:
> Seien f,g [mm]\in[/mm] M, dann existieren nach der Def. von M
> [mm]\tau,\sigma \in S_n[/mm] so dass [mm]f=f_\tau[/mm] und [mm]g=f_\sigma[/mm] sind.
> Wir wählen [mm]p:=\tau \circ \sigma \in S_n.[/mm] Dann gilt für
> alle [mm]\pi \in S_n[/mm]
> [mm](f \circ g)(\pi)= f(g(\pi))=f_\tau(f_\sigma(\pi))=\tau \circ (\sigma \circ \pi)=(\tau \circ \sigma) \circ \pi =p \circ \pi = f_p(\pi)[/mm]
>
> Somit ist [mm](f \circ g)=f_p \in M[/mm] und [mm]\circ[/mm] ist eine
> Verknüpfung auf [mm]M[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Perfekt!
> (Ist es aber nicht jetzt auch so, daß man hier Elemente
> von M auch mit den Elementen von [mm]S_n[/mm] gleichsetzt?)
Nein. An welcher Stelle meinst du genau?
> Zeige, [mm]M[/mm] ist nicht die leere Menge:
> Da [mm]S_n \not= \varnothing[/mm] ist, existiert ein [mm]\tau \in S_n.[/mm]
> Für dieses [mm]\tau[/mm] gilt [mm]f_\tau \in M[/mm]. Also ist [mm]M[/mm] nicht die
> leere Menge.
Perfekt!
> Zeige, [mm]\circ[/mm] ist in [mm]M[/mm] assoziativ:
> Seien [mm]f,g,h \in M[/mm] und sei [mm]\pi \in S_n.[/mm] Zu zeigen ist, dass
> [mm]((f\circ g) \circ h)(\pi) = (f \circ (g \circ h))(\pi)[/mm]
> ist.
Genau.
> Es ist [mm]((f\circ g) \circ h)(\pi) = (f \circ g) \circ (h(\pi))=f \circ (g(h(\pi)))=f(g(h(\pi)))[/mm]
>
> und [mm](f \circ (g \circ h))(\pi)=f \circ ((g \circ h)(\pi))=f \circ (g \circ h(\pi))= f \circ (g(h(\pi)))=f(g(h(\pi)))[/mm]
Hier stimmen die Zwischenschritte nicht. Genauer gesagt verkettest du hier Abbildungen mit [mm] $\circ$, [/mm] die gar nicht "verkettbar" sind.
Ganz allgemein: Für Abbildungen [mm] $k\colon X\to [/mm] Y$ und [mm] $l\colon Y\to [/mm] Z$ ist die Abbildung [mm] $l\circ k\colon X\to [/mm] Z$ definiert durch
[mm] $(l\circ [/mm] k)(x):=l(k(x))$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$,
nicht etwa durch (was gar keinen Sinn ergeben würde)
(Achtung, falsch! -->) [mm] $(l\circ k)(x):=l\circ(k(x))$.
[/mm]
Diese falsche "Regel" hast du jedoch mehrfach angewandt.
> damit ist [mm]\circ[/mm] in [mm]M[/mm] assoziativ.
Nichtsdestotrotz: Irgendwie scheint es bei dir "Klick" gemacht zu haben...
Falls du selbst weißt, woran das liegt, würde ich mich über eine Mitteilung freuen! Dann könnte ich daraus vielleicht für meine zukünftigen Erklärungen lernen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
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> Hier stimmen die Zwischenschritte nicht. Genauer gesagt
> verkettest du hier Abbildungen mit [mm]\circ[/mm], die gar nicht
> "verkettbar" sind.
>
> Ganz allgemein: Für Abbildungen [mm]k\colon X\to Y[/mm] und [mm]l\colon Y\to Z[/mm]
> ist die Abbildung [mm]l\circ k\colon X\to Z[/mm] definiert durch
>
> [mm](l\circ k)(x):=l(k(x))[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm],
>
> nicht etwa durch (was gar keinen Sinn ergeben würde)
>
> (Achtung, falsch! -->) [mm](l\circ k)(x):=l\circ(k(x))[/mm].
>
> Diese falsche "Regel" hast du jedoch mehrfach angewandt.
>
Hallo,
nach etwas Nachdenken müsste die korrekte Schreibweise folgende sein:
Zeige, [mm] \circ [/mm] ist in $M$ assoziativ:
Seien $f,g,h [mm] \in [/mm] M$ und sei [mm] \pi \in S_n. [/mm] Zu zeigen ist, dass [mm] $((f\circ [/mm] g) [mm] \circ h)(\pi) [/mm] = (f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h))(\pi)$ [/mm] ist.
Es ist [mm] $((f\circ [/mm] g) [mm] \circ h)(\pi) [/mm] = (f [mm] \circ g)(h(\pi))=f(g(h(\pi)))$
[/mm]
und $(f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h))(\pi)=f((g \circ h)(\pi))=f(g(h(\pi))) [/mm] $
damit ist [mm] \circ [/mm] in $M$ assoziativ.
>
>
> Nichtsdestotrotz: Irgendwie scheint es bei dir "Klick"
> gemacht zu haben...
>
> Falls du selbst weißt, woran das liegt, würde ich mich
> über eine Mitteilung freuen! Dann könnte ich daraus
> vielleicht für meine zukünftigen Erklärungen lernen...
>
Ich schreibe dir heute Abend mal eine PN
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Zeige, [mm]\circ[/mm] ist in [mm]M[/mm] assoziativ:
> Seien [mm]f,g,h \in M[/mm] und sei [mm]\pi \in S_n.[/mm] Zu zeigen ist, dass
> [mm]((f\circ g) \circ h)(\pi) = (f \circ (g \circ h))(\pi)[/mm]
> ist.
>
> Es ist [mm]((f\circ g) \circ h)(\pi) = (f \circ g)(h(\pi))=f(g(h(\pi)))[/mm]
>
> und [mm](f \circ (g \circ h))(\pi)=f((g \circ h)(\pi))=f(g(h(\pi)))[/mm]
>
> damit ist [mm]\circ[/mm] in [mm]M[/mm] assoziativ.
Wieder alles bestens!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Jetzt ist es Zeit, sich mal ganz herzlich zu freuen ... und weiter:
Zeige, es existiert in M ein neutrales Element bezogen auf [mm] \circ:
[/mm]
[mm] (S_n,\circ) [/mm] bildet bekanntermaßen eine Gruppe (was ich jetzt nicht extra zeige). Somit existiert in [mm] S_n [/mm] ein neutrales Element der Verknüpfung [mm] \circ. [/mm] Sei dieses Element $id$.
Sei weiter [mm] f_\tau \in [/mm] M eine Abbildung von [mm] S_n \to S_n [/mm] mit [mm] f_\tau(\pi)=\tau \circ \pi [/mm] für alle [mm] \pi \in S_n [/mm] und sei [mm] f_{id} \in [/mm] M eine Abbildung von [mm] S_n \to S_n [/mm] mit [mm] $f_{id}(\sigma)=id \circ \sigma$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in S_n$.
[/mm]
Dann ist [mm] (f_\tau \circ f_{id})(\sigma)=(\tau \circ id)(\sigma)=\tau \circ \sigma=f_\tau(\sigma)
[/mm]
ES existiert also mit [mm] f_{id} [/mm] ein neutrales Element bezogen auf [mm] \circ [/mm] in M.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt ist es Zeit, sich mal ganz herzlich zu freuen
Da hast du allen Grund zu!
> ... und weiter:
>
> Zeige, es existiert in M ein neutrales Element bezogen auf
> [mm]\circ:[/mm]
> [mm](S_n,\circ)[/mm] bildet bekanntermaßen eine Gruppe (was ich
> jetzt nicht extra zeige). Somit existiert in [mm]S_n[/mm] ein
> neutrales Element der Verknüpfung [mm]\circ.[/mm] Sei dieses
> Element [mm]id[/mm].
Sehr schön!
> Sei weiter [mm]f_\tau \in[/mm] M
d.h. [mm] $f_\tau$ [/mm] ist
> eine Abbildung von [mm]S_n \to S_n[/mm] mit
> [mm]f_\tau(\pi)=\tau \circ \pi[/mm] für alle [mm]\pi \in S_n[/mm] und sei
> [mm]f_{id} \in[/mm] M eine Abbildung von [mm]S_n \to S_n[/mm] mit
> [mm]f_{id}(\sigma)=id \circ \sigma[/mm] für alle [mm]\sigma \in S_n[/mm].
[mm] $f_{id}$ [/mm] brauchst du nicht mehr extra einzuführen; diese Abbildung ist ja schon in der Aufgabenstellung definiert.
> Dann ist
für alle [mm] $\sigma\in S_n$
[/mm]
> [mm](f_\tau \circ f_{id})(\sigma)=(\tau \circ id)(\sigma)=\tau \circ \sigma=f_\tau(\sigma)[/mm]
Das rechte Gleichheitszeichen gilt und du hast richtig erkannt, was zu zeigen ist.
[mm] $\tau\circ [/mm] id$ ist ein Element von [mm] $S_n$, [/mm] also eine (bijektive) Abbildung [mm] $\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}$. [/mm] Somit ergibt der Ausdruck [mm] $(\tau\circ id)(\sigma)$ [/mm] keinen Sinn.
Es gilt vielmehr
[mm] $(f_\tau \circ f_{id})(\sigma)=f_\tau(f_{id}(\sigma))=\ldots$.
[/mm]
Neben [mm] $f_\tau\circ f_{id}=f_\tau$ [/mm] für alle [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] ist auch noch [mm] $f_{id}\circ f_\tau=f_\tau$ [/mm] für alle [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] zu zeigen.
> ES existiert also mit [mm]f_{id}[/mm] ein neutrales Element bezogen
> auf [mm]\circ[/mm] in M.
Sehr schön formuliert!
Ich bin weiterhin begeistert, wie gut du die Beweise inzwischen strukturiert darstellst!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Jetzt ärgere ich mich schon fast, daß du so schnell warst.
(nicht wirklich erst gemeint!!!)
Mir ist gerade eingefallen, daß ich mit [mm] \red{(\tau \circ id)(\sigma)} [/mm] Blödsinn geschrieben hatte und wollte dieses noch schnell ändern.
Meintest du [mm] f_\tau [/mm] brauche ich nicht noch extra zu definieren? Oder wirklich [mm] f_{id}? [/mm] Ich nehme mal an [mm] f_\tau [/mm] war gemeint, weil diese Abbildung ja in der Aufgabenstellung steht.
Zeige, es existiert in M ein neutrales Element bezogen auf [mm] \circ:
[/mm]
[mm] (S_n,\circ) [/mm] bildet bekanntermaßen eine Gruppe (was ich jetzt nicht extra zeige). Somit existiert in [mm] S_n [/mm] ein neutrales Element der Verknüpfung [mm] \circ. [/mm] Sei dieses Element $id$. Sei weiter [mm] f_{id} \in [/mm] M eine Abbildung von [mm] S_n \to S_n [/mm] mit [mm] $f_{id}(\pi)=id \circ \pi$ [/mm] für alle [mm] \pi \in S_n.
[/mm]
Ich zeige, daß [mm] f_{id} [/mm] das neutrale Element der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] ist:
[mm] $(f_\tau \circ f_{id})(\pi)=f_\tau(f_{id}(\pi))=\tau \circ \pi [/mm] = [mm] f_\tau(\pi)$
[/mm]
und es gilt:
[mm] $(f_{id} \circ f_\tau)(\pi)=f_{id}(f_\tau(\pi))=f_id(\tau \circ \pi)=\tau \circ \pi [/mm] = [mm] f_\tau(\pi)$
[/mm]
Es existiert also mit [mm] f_{id} [/mm] ein neutrales Element bezogen auf [mm] \circ [/mm] in M.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt ärgere ich mich schon fast, daß du so schnell
> warst.
> (nicht wirklich erst gemeint!!!)
> Mir ist gerade eingefallen, daß ich mit [mm]\red{(\tau \circ id)(\sigma)}[/mm]
> Blödsinn geschrieben hatte und wollte dieses noch schnell
> ändern.
Ah, ärgerlich! Aber umso besser, wenn du das selbst bemerkt hast.
> Meintest du [mm]f_\tau[/mm] brauche ich nicht noch extra zu
> definieren? Oder wirklich [mm]f_{id}?[/mm] Ich nehme mal an [mm]f_\tau[/mm]
> war gemeint, weil diese Abbildung ja in der
> Aufgabenstellung steht.
Ich meinte wirklich [mm] $f_{id}$. [/mm] Für jedes [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] wurde in der Aufgabenstellung [mm] $f_\tau$ [/mm] definiert, insbesondere für [mm] $\tau=id\in S_n$.
[/mm]
[mm] $f_\tau$ [/mm] brauchst du genauso wenig zu definieren. Lediglich, dass du nun ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $f_\tau\in [/mm] M$ betrachten möchtest ("Sei [mm] $f_\tau\in [/mm] M$."), solltest du erwähnen.
> Zeige, es existiert in M ein neutrales Element bezogen auf
> [mm]\circ:[/mm]
> [mm](S_n,\circ)[/mm] bildet bekanntermaßen eine Gruppe (was ich
> jetzt nicht extra zeige). Somit existiert in [mm]S_n[/mm] ein
> neutrales Element der Verknüpfung [mm]\circ.[/mm] Sei dieses
> Element [mm]id[/mm]. Sei weiter [mm]f_{id} \in[/mm] M eine Abbildung von [mm]S_n \to S_n[/mm]
> mit [mm]f_{id}(\pi)=id \circ \pi[/mm] für alle [mm]\pi \in S_n.[/mm]
Den letzten Satz des obigen Abschnittes würde ich ersatzlos streichen.
> Ich
> zeige, daß [mm]f_{id}[/mm] das neutrale Element der Verknüpfung
> [mm]\circ[/mm] ist:
Für alle [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] und alle [mm] $\pi\in S_n$ [/mm] gilt:
> [mm](f_\tau \circ f_{id})(\pi)=f_\tau(f_{id}(\pi))=\tau \circ \pi = f_\tau(\pi)[/mm]
>
> und es gilt:
> [mm](f_{id} \circ f_\tau)(\pi)=f_{id}(f_\tau(\pi))=f_id(\tau \circ \pi)=\tau \circ \pi = f_\tau(\pi)[/mm]
Jetzt stimmen die Gleichungsketten.
Das mittlere Gleichheitszeichen in der oberen Gleichungskette und das dritte Gleichheitszeichen in der unteren Gleichungskette würde ich mit einem Zwischenschritt näher begründen.
> Es existiert also mit [mm]f_{id}[/mm] ein neutrales Element bezogen
> auf [mm]\circ[/mm] in M.
Wenn du die Zwischenschritte noch ergänzt: Schön!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ok, das ist dann natürlich auch etwas weniger Schreibarbeit. So, jetzt noch ein mal die überarbeitet Form:
Zeige, es existiert in M ein neutrales Element bezogen auf [mm] \circ:
[/mm]
[mm] (S_n,\circ) [/mm] bildet bekanntermaßen eine Gruppe (was ich jetzt nicht extra zeige). Somit existiert in [mm] S_n [/mm] ein neutrales Element der Verknüpfung [mm] \circ. [/mm] Sei dieses Element $id$.
Ich zeige, daß [mm] f_{id} [/mm] das neutrale Element der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] ist:
Für alle [mm] \tau,\pi \in S_n [/mm] gilt:
[mm] $(f_\tau \circ f_{id})(\pi)=f_\tau(f_{id}(\pi))=f_\tau(id \circ \pi)=f_\tau (\pi)$
[/mm]
und es gilt:
[mm] $(f_{id} \circ f_\tau)(\pi)=f_{id}(f_\tau(\pi))=f_id(\tau \circ \pi)=id \circ \tau \circ \pi=\tau \circ \pi [/mm] = [mm] f_\tau(\pi)$
[/mm]
Es existiert also mit [mm] f_{id} [/mm] ein neutrales Element bezogen auf [mm] \circ [/mm] in M.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Zeige, es existiert in M ein neutrales Element bezogen auf
> [mm]\circ:[/mm]
> [mm](S_n,\circ)[/mm] bildet bekanntermaßen eine Gruppe (was ich
> jetzt nicht extra zeige). Somit existiert in [mm]S_n[/mm] ein
> neutrales Element der Verknüpfung [mm]\circ.[/mm] Sei dieses
> Element [mm]id[/mm].
> Ich zeige, daß [mm]f_{id}[/mm] das neutrale Element der
> Verknüpfung [mm]\circ[/mm] ist:
>
> Für alle [mm]\tau,\pi \in S_n[/mm] gilt:
> [mm](f_\tau \circ f_{id})(\pi)=f_\tau(f_{id}(\pi))=f_\tau(id \circ \pi)=f_\tau (\pi)[/mm]
>
> und es gilt:
> [mm](f_{id} \circ f_\tau)(\pi)=f_{id}(f_\tau(\pi))=f_id(\tau \circ \pi)=id \circ \tau \circ \pi=\tau \circ \pi = f_\tau(\pi)[/mm]
>
> Es existiert also mit [mm]f_{id}[/mm] ein neutrales Element bezogen
> auf [mm]\circ[/mm] in M.
Super!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Sa 12.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
DANKE !!!!
Wobei ich vergessen habe zu schreiben:
Sei [mm] f_{id} \in [/mm] M
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wobei ich vergessen habe zu schreiben:
>
> Sei [mm]f_{id} \in[/mm] M
Es GILT [mm] $f_{id}\in [/mm] M$. Wenn du möchtest, kannst du das explizit erwähnen, aber für meinen Geschmack ist das nicht zwingend erforderlich.
Das "Sei [mm] $f_\tau\in [/mm] M$." erübrigte sich durch die Formulierung "Für alle [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] gilt:".
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 13.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hier nun der letzte Teil der Aufgabe:
Zeige, es existiert zu jedem Element von M bezogen auf [mm] \circ [/mm] ein inverses Element:
Da [mm] (S_n, \circ) [/mm] eine Gruppe ist, existiert zu jedem [mm] \tau \in S_n [/mm] ein [mm] $\tau^{-1} \in S_n$, [/mm] welches das inverse Element zu [mm] \tau [/mm] darstellt.
Ich zeige, daß [mm] f_{\tau^{-1}} [/mm] das inverse Element zu [mm] f_\tau [/mm] ist. Sei dazu [mm] \pi \in S_n.
[/mm]
[mm] $(f_\tau \circ f_{\tau^{-1}})(\pi)=f_\tau(f_{\tau^{-1}}(\pi))=f_\tau(\tau^{-1} \circ \pi)=\tau \circ \tau^{-1} \circ \pi= [/mm] id [mm] \circ \pi =f_{id}(\pi)$
[/mm]
und es gilt:
[mm] $(f_{\tau^{-1}} \circ f_\tau)(\pi)=f_{\tau^{-1}}(f_\tau(\pi))=f_{\tau^{-1}}(\tau \circ \pi)=\tau^{-1} \circ \tau \circ \pi= [/mm] id [mm] \circ \pi =f_{id}(\pi)$
[/mm]
Damit existiert zu jedem Element von M bezogen auf [mm] \circ [/mm] ein inverses Element.
(Abschlusssatz für die Gesamtaufgabe:)
Da gezeigt wurde, dass M nicht die leere Menge ist und [mm] \circ [/mm] eine Verknüpfung auf M ist, die ein neutrales Element besitzt, assoziativ ist und in M zu jedem Element bezogen auf [mm] \circ [/mm] ein inverses Element existiert, so folgt, dass [mm] (M,\circ) [/mm] mit diesen Eigenschaften eine Gruppe bildet.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Zeige, es existiert zu jedem Element von M bezogen auf
> [mm]\circ[/mm] ein inverses Element:
>
> Da [mm](S_n, \circ)[/mm] eine Gruppe ist, existiert zu jedem [mm]\tau \in S_n[/mm]
> ein [mm]\tau^{-1} \in S_n[/mm], welches das inverse Element zu [mm]\tau[/mm]
> darstellt.
> Ich zeige, daß [mm]f_{\tau^{-1}}[/mm] das inverse Element zu
> [mm]f_\tau[/mm] ist. Sei dazu [mm]\pi \in S_n.[/mm]
>
> [mm](f_\tau \circ f_{\tau^{-1}})(\pi)=f_\tau(f_{\tau^{-1}}(\pi))=f_\tau(\tau^{-1} \circ \pi)=\tau \circ \tau^{-1} \circ \pi= id \circ \pi =f_{id}(\pi)[/mm]
>
> und es gilt:
> [mm](f_{\tau^{-1}} \circ f_\tau)(\pi)=f_{\tau^{-1}}(f_\tau(\pi))=f_{\tau^{-1}}(\tau \circ \pi)=\tau^{-1} \circ \tau \circ \pi= id \circ \pi =f_{id}(\pi)[/mm]
>
> Damit existiert zu jedem Element von M bezogen auf [mm]\circ[/mm]
> ein inverses Element.
Perfekt!
> (Abschlusssatz für die Gesamtaufgabe:)
> Da gezeigt wurde, dass M nicht die leere Menge ist und
> [mm]\circ[/mm] eine Verknüpfung auf M ist, die ein neutrales
> Element besitzt, assoziativ ist und in M zu jedem Element
> bezogen auf [mm]\circ[/mm] ein inverses Element existiert, so folgt,
> dass [mm](M,\circ)[/mm] mit diesen Eigenschaften eine Gruppe
> bildet.
Sehr schön!
Mir gefällt besonders gut, dass du genau erklärst, was du wann tust und getan hast!
Ein kleiner Tipp noch (den ich zunächst bewusst zurückgehalten habe, da ich diese Sache für nachrangig hielt):
Wenn du nachweisen möchtest, dass eine Menge $M$ mit einer gewissen Verknüpfung eine Gruppe bildet, musst du die Tatsache, dass es sich bei $M$ nicht um die leere Menge handelt, nicht explizit prüfen. Das folgt nämlich automatisch aus der Existenz eines neutralen Elementes [mm] $e\in [/mm] M$, die du ja sowieso zeigen musst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 So 13.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Tobias,
klar, es leuchtet ein, dass ich nicht extra zeigen muss, dass M keine leere Menge sein kann, wenn ich ein neutrales Element in der Menge habe. Aber ganz ehrlich: So weit hatte ich am Anfang gar nicht gedacht. Ich hoffe, dieser Blick entwickelt sich noch. Ich nehme aus dieser Aufgabe aber viel für mich mit und freue mich erst ein mal 
Grüße,
Micha
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